いまや当大学における絶滅危惧レッドリストの筆頭に挙げられる数学同人Sigmaでのある一幕．
https://aue-sigma.jimdo.com/
www.aichi-edu.ac.jp
久しぶりに教育実習から返ってきたメンバーが「実習中にこんなこと見つけた」と鼻息荒く話していた話題なんだが，それは例えば
\begin{align}
1+2&=3\\
4+5+6&=7+8\\
9+10+11+12&=13+14+15\\
16+17+18+19+20&=21+22+23+24
\end{align}
といった連続整数の和についての等式だった．つまり一般に
\begin{equation}
\displaystyle2\sum_{k=0}^a (a^2+k)=\sum_{k=0}^{(a+1)^2-1}(a^2+k)
\end{equation}
と言い換えても良い．そしてこれは任意の自然数
さて，本当の遊びはここからだ．では一般に
\begin{equation}
\displaystyle2\sum_{k=a}^x k=\sum_{k=a}^b k
\end{equation}
となるような自然数
\begin{equation}
2(x-a+1)(x+a)=(b-a+1)(b+a)
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
2(2x+1)^2=(2a-1)^2+(2b+1)^2
\end{equation}
となる．
\begin{equation}
A^2+B^2=2X^2
\end{equation}
を満たすものを探せということになる．あるいは
\begin{equation}
s^2+t^2=2
\end{equation}
を満たす有理点
そこでとりあえず有理点
図形的に見やすい
すでに
\begin{equation}
s^2+(m(s+1)-1)^2=2
\end{equation}
は
\begin{equation}
\displaystyle s=\frac{1+2m-m^2}{m^2+1},t=\frac{m^2+2m-1}{m^2+1}
\end{equation}
と得られる．あとは
\begin{equation}
s=\displaystyle\frac{p^2+2pq-q^2}{p^2+q^2},t=\frac{q^2+2pq-p^2}{p^2+q^2}
\end{equation}
となり，
\begin{equation}
p^2+q^2\equiv p^2+2pq-q^2\equiv q^2+2pq-p^2\equiv 2\pmod{4}
\end{equation}
となるため，約分すればやはり分母分子共に奇数と分かる．
こうして任意の有理数
\begin{equation}
A=p^2+2pq-q^2,B=q^2+2pq-p^2,X=p^2+q^2,
\end{equation}
\begin{equation}
A=\displaystyle \frac{p^2-q^2}{2}+pq,B=\frac{q^2-p^2}{2}+pq,X=\frac{p^2+q^2}{2}
\end{equation}
と得られる．
もっとも，元の問題に立ち戻れば自然数和を考えていたので，
\begin{equation}
A=p^2+2pq-q^2=(p+q)^2-2q^2\ge 0
\end{equation}
\begin{equation}
B=q^2+2pq-p^2=(p+q)^2-2p^2\ge 0
\end{equation}
という条件，すなわち
\begin{equation}
(\sqrt{2}-1)p\le q\le (\sqrt{2}+1)p
\end{equation}
が
\begin{equation}
A=2p^2-1,B=2(p+1)^2-1,X=2p^2+2p+1,
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
a=p^2,b=(p+1)^2-1,x=p^2+p
\end{equation}
となって，冒頭の学生が発見した等式に戻る．
またとすると
すなわち
となり，新たな等式
\begin{equation}
4+5+6+7+8=9+10+11
\end{equation}
が見つかる．あるいはとすると
，すなわち
となって，別の新たな等式
\begin{equation}
12+13+\cdots+32=33+34+\cdots+44
\end{equation}
が得られる．も条件下にあり，このときは
\begin{equation}
A=p^2,B=7p^2,X=5p^2
\end{equation}
と綺麗な形になり，奇数に対して新たな系列
\begin{equation}
a=\frac{p^2+1}{2},b=\frac{7p^2-1}{2},x=\frac{5p^2-1}{2}
\end{equation}
が得られる．
使っているのは高校数学程度なんだが，結構面白い．
おやおや，なんだかミイラ取りがミイラになりかかっているぞ...
