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残念な国(10-b)―我々「こんな人たち」のレジスタンス

確か,中学生だったか高校生だったかの頃に「1984年」を読んだ.
ディストピア小説の代表だろう.

1984年 (ハヤカワ文庫 NV 8)

1984年 (ハヤカワ文庫 NV 8)

個人の表現の自由はおろか,極めて内的な心情にすら政府が介入する世界.
そもそも批判的な思考すら起こさせないよう,政府がNewspeakなる人造言語を普及させている.
さながら漏れ聞こえてくる朝鮮民主主義人民共和国の市民生活だったり,
「気付いてしまった人たち」を弾圧する中華人民共和国の行き着く先のようであり,
かつての戦時中の,市民レベルで互いを密告をし合っていた大日本帝国のようである.

戦争は平和である (WAR IS PEACE)
自由は隷属である (FREEDOM IS SLAVERY)
無知は力である (IGNORANCE IS STRENGTH)

「Big Brother」率いる一党支配の世界.これがその党のスローガンである.
考えれば考えるほど分からなくなる言葉なんだが,
つまるところ,考えることを止めさせる言葉なんだ.
考えちゃいけない,ただただ熱狂的に唱和するのだ.
ああ!ちょっと前にもそんな言葉が某大国で流行ったっけ!!

We Will Make America Great Again!



さてさて極めて幸いなことに,まだこの国では自由にモノが言える.
そう,目立たない程度に発言する限りは.

そしてまだ幸いなことに,最高権力者の,
「人間らしく,ついやっちまった」無様な御スガタを拝む機会がある.

「こんな人たちに皆さん,私たちは負けるわけにはいかない」

f:id:okiraku894:20170930100140j:plain

「自由は隷属」であり「無知は力」であるあのディストピアにおいては,
確かに"何も感じず,考えない"人たち,
あるいは"感じること,考えることをやめた"人たち,
体制に身の全てを委ねた人たちにはユートピアなのかもしれない.
だからそのユートピアを蝕む,"感じ考えてしまうメンドクサイ人たち"を
鬱陶しく思うのだろうなぁ.
例えばネトウヨによるパヨク叩きは,そういうことなんだろうと.
権威者である市民が思考停止して権力者に隷属するのは如何なものかと思うのだけどね.



さて,かく云う私は「こんな人たち」側の人間である.
本日投開票される結果如何によっては平成版大政翼賛会が生まれかねない.
そうなったとき一番危惧しているのが日本国憲法の「前文」が書き換えられてしまうことだ.
改憲論議でふつう皆が注目する九条のほうではなくて,だ.
あるいは,第十三条において,「個人」を「人」に書き換えてしまうことだ.

日本国憲法 第十三条
すべて国民は、個人として尊重される。生命、自由及び幸福追求に対する国民の権利については、公共の福祉に反しない限り、立法その他の国政の上で、最大の尊重を必要とする。


自民党改憲草案 第十三条
全て国民は、人として尊重される。生命、自由及び幸福追求に対する国民の権利については、公益及び公の秩序に反しない限り、立法その他の国政の上で、最大限に尊重されなければならない

この変化が,九条論議よりも遥かに差し迫った身近な危険な動きなのだということを
一体どれくらいの人が分かっているのだろう.
「個人」から「人」へ.たった一文字なんだけど,この変化がとても恐ろしい.
なんなら,「人」と書かれていたものが「ヒト」に変わったらどうだろう?
「個人」→「人」→「ヒト」.
個々人が持つ精神性が次第に失われ,単なる生物学的な「分類」へと変わっていく.
一人の人間としての尊厳というものが失われていくじゃないか.
そして実際それと呼応するように条文の後半において
「公共の福祉に反しない限り」から「公益及び公の秩序に反しない限り」へと,
「個人」の領域を制限する文言へと変わっているではないか.
そんな新しい憲法のもとで何がおこるだろうか?とちょっと想像してみる.

かつて「非国民」という言葉によって物思う人たちが弾圧されたように,
ユートピア側の人たちが掲げる「他人の迷惑」という錦の御旗のもと,
感じ考えてしまう人たちが社会的に弾圧されてしまうことだろう.
というのもユートピア側の人たちは多様性のある社会をお好みではないのだから.

あれ,まてよ."ユートピア側"なんて言葉を使ったんじゃ,
「こんな人たち」と言ってる安倍君と変わらないじゃないか!
そうだ,右や左なんて言ってる場合じゃない,我々は前に進まねばならないのだ!

「党を立ち上げたのは多くのみなさんに『枝野、立て』と背中を押していただいたからだ。主権者の声が立憲民主党を作った原動力だ。『右』や『左』は20世紀の古い考え方だ。上からの政治か、草の根の声に寄り添った本当の民主主義かが問われている。右でも左でもなく前へ進む新しい選択肢を掲げたい。一緒に進んでほしい。私にはあなたの力が必要だ。」
立憲民主党・枝野幸男 街頭演説より

www.sankei.com

tokidoki.hatenablog.jp

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バランスをとる数(2)ー連分数という力学系

ミイラ取りがすっかりミイラになった感のある前回のエントリー.
tokidoki.hatenablog.jp

前回の結果はまとめると
\begin{equation}
2\sum_{k=a}^x k=\sum_{k=a}^b k
\end{equation}
を満たす組(a,b,x)は互いに素なp,qによって,p,q何れかが偶数なら
\begin{equation}
(a,b,x)=\left((p+q)^2-2q^2,(p+q)^2-2p^2,p^2+q^2\right),
\end{equation}
何れも奇数なら
\begin{equation}
(a,b,x)=\left(\frac{(p+q)^2-2q^2}{2},\frac{(p+q)^2-2p^2}{2},\frac{p^2+q^2}{2}\right)
\end{equation}
と表されるということだった.こうしてあらゆる解がパラメータp,qで表現できると分かったものの,特定の解だけ抜き出そうとするとそれはそれでまた話が膨らむようなのだ.例えばa=1と固定した場合,どのようなp,qならば
\begin{equation}
(p+q)^2-2q^2=1
\end{equation}
を満たすだろうか?といった問題に変わる.
実はこの話,ラマヌジャンが直感的に解いたという逸話があるそうで,それは
\begin{equation}
2\sum_{k=1}^x k=\sum_{k=1}^b k
\end{equation}
の解(b,x)\sqrt{2}の連分数展開を使って求める話だなのだが,先に進む前に今回は連分数展開の力学系としての私なりの解釈を書き留めておこうと思った.というのも連分数が出てくる度,その見方を思い出すのに時間がかかってきたからだ.



無理数\alpha>0の連分数展開が
\begin{equation}
\alpha=[a_0;a_1,a_2,\dots]=a_0+\frac{1}{a_1+\displaystyle\frac{1}{a_2+\cdots}}
\end{equation}
となっているとする.これは帰納的に
\begin{equation}
\alpha_{n}=a_n+\frac{1}{\alpha_{n+1}},\ a_n=\lfloor\alpha_n\rfloor
\end{equation}
つまり
\begin{equation}
\alpha_{n+1}=\frac{1}{\alpha_n-a_n},\ \alpha_0=\alpha
\end{equation}
とも表せる.要するに
\begin{equation}
T(x)=\frac{1}{x-\lfloor x\rfloor}
\end{equation}
なる力学系を考えているに他ならない.が,近似分数を思うならば,これを分母分子を意識した形で書き直したい.傾きxを傾き\displaystyle\frac{1}{x-a}に移す2次元の変換として捉えることを考えよう.なおa=\lfloor x\rfloorとした.もちろんそのような変換はスカラー倍だけ自由度があるが,標準基底をe_1=(1,0),e_2=(0,1)として
\begin{equation}
e_1+xe_2=(e_1+ae_2)+(x-a)e_2=e'_2+(x-a)e'_1
\end{equation}
なる変換,つまり
\begin{equation}
(e_1\ e_2)\mapsto (e'_1\ e'_2)=(e_1\ e_2)\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a \end{pmatrix}
\end{equation}
ならば図形的にもやっていることが分かりやすい.

したがって\alphaの連分数展開[a_0;a_1,a_2,\dots] は基底変換
\begin{equation}
(e_1\ e_2)\mapsto(e'_1\ e'_2)=(e_1\ e_2)\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_0 \end{pmatrix}\\
(e'_1\ e'_2)\mapsto(e''_1\ e''_2)=(e'_1\ e'_2)\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_1 \end{pmatrix}
=(e_1\ e_2)\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_1 \end{pmatrix}
\end{equation}
を繰り返していく操作と読み替えられる.さらにn回目の基底変換では
\begin{equation}
(e^{(n)}_1\ e^{(n)}_2)=(e^{(n-1)}_1\ e^{(n-1)}_2)\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}
=(e_1\ e_2)\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_1 \end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}
\end{equation}
と書けるのでe^{(n)}_1=e^{(n-1)}_2が分かる.さらに
\begin{equation}
e^{(n+1)}_2=e^{(n)}_1+a_ne^{(n)}_2=a_ne^{(n)}_2+e^{(n-1)}_2,
\end{equation}
したがって
\begin{equation}
e^{(n+1)}_1=e^{(n)}_2=e^{(n-1)}_1+a_{n-1}e^{(n-1)}_2=a_{n-1}e^{(n)}_1+e^{(n-1)}_1
\end{equation}
と書けるのでe^{(n+1)}_1=e^{(n)}_2=p_ne_1+q_ne_2と表せば,近似連分数に関する漸化式
\begin{equation}
q_{n+1}=a_nq_n+q_{n-1}
\end{equation}
および
\begin{equation}
p_{n+1}=a_{n-1}p_n+p_{n-1}
\end{equation}
が得られる.こうして近似分数
\begin{equation}
\frac{q_n}{p_n}=[a_0;a_1,a_2,\dots,a_{n-1}]
\end{equation}
にたどり着く.



ところで この行列表示
\begin{equation}
(e^{(n)}_1\ e^{(n)}_2)
=(e_1\ e_2)\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_1 \end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}
=(e_1\ e_2)\begin{pmatrix} p_{n-1} & p_n\\ q_{n-1} & q_n \end{pmatrix},
\end{equation}
連分数近似に関する諸性質が容易に得られるのが嬉しい.例えば行列式が
\begin{equation}
\begin{vmatrix} p_{n-1} & p_n\\ q_{n-1} & q_n \end{vmatrix}
=\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_0 \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_1 \end{vmatrix}\cdots
\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_{n-1} \end{vmatrix}
=(-1)^n
\end{equation}
となって,
\begin{equation}
p_{n-1}q_n-p_nq_{n-1}=(-1)^n
\end{equation}
が得られ,隣接近似分数の距離が
\begin{equation}
\left|\frac{q_n}{p_n}-\frac{q_{n-1}}{p_{n-1}}\right|=\left|\frac{p_{n-1}q_n-p_nq_{n-1}}{p_np_{n-1}}\right|=\frac{1}{p_np_{n-1}}
\end{equation}
と分かる.あるいはこの行列表示を転置すると
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_{n-2} \end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & a_0 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} p_{n-1} & q_{n-1}\\ p_n & q_n \end{pmatrix},
\end{equation}
となるが,これは連分数[a_{n-1};a_{n-2},\dots,a_0]に対応するから
v[a_{n-1};a_{n-2},\dots,a_0=\frac{q_n}{q_{n-1}}
\end{equation}
が分かり,同時に行列表示の第一列の意味を考えれば
\begin{equation}
[a_{n-1};a_{n-2},\dots,a_1]=\frac{p_n}{p_{n-1}}
\end{equation}
も分かる.

バランスをとる数(1)―入り口は1+2=3


いまや当大学における絶滅危惧レッドリストの筆頭に挙げられる数学同人Sigmaでのある一幕.
https://aue-sigma.jimdo.com/
www.aichi-edu.ac.jp

久しぶりに教育実習から返ってきたメンバーが「実習中にこんなこと見つけた」と鼻息荒く話していた話題なんだが,それは例えば
\begin{align}
1+2&=3\\
4+5+6&=7+8\\
9+10+11+12&=13+14+15\\
16+17+18+19+20&=21+22+23+24
\end{align}
といった連続整数の和についての等式だった.つまり一般に

\displaystyle
\displaystyle\sum_{k=0}^a (a^2+k)=\sum_{k=a+1}^{(a+1)^2-1}(a^2+k)
ということだ.あるいは
\begin{equation}
\displaystyle2\sum_{k=0}^a (a^2+k)=\sum_{k=0}^{(a+1)^2-1}(a^2+k)
\end{equation}
と言い換えても良い.そしてこれは任意の自然数aについて確かに正しいことが計算すれば分かる.


さて,本当の遊びはここからだ.では一般に
\begin{equation}
\displaystyle2\sum_{k=a}^x k=\sum_{k=a}^b k
\end{equation}
となるような自然数a\le x\le bの組はどんなものだろうか?計算すれば
\begin{equation}
2(x-a+1)(x+a)=(b-a+1)(b+a)
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
2(2x+1)^2=(2a-1)^2+(2b+1)^2
\end{equation}
となる.X=2x+1,A=2a-1,B=2b+1と置けば奇数A,X,Bの組で
\begin{equation}
A^2+B^2=2X^2
\end{equation}
を満たすものを探せということになる.あるいはs=\frac{A}{X},t=\frac{B}{X}と置けば,
\begin{equation}
s^2+t^2=2
\end{equation}
を満たす有理点(s,t)で,分母分子共に奇数になっているものを探せ,ということになる.


そこでとりあえず有理点(s,t)を探すわけだが,例えば(s,t)=(\pm1,\pm1)などがすぐ見つかる.
図形的に見やすい(-1,-1)を足がかりに,有理数m>0を傾きとする直線 t=m(s+1)-1s^2+t^2=2 の交点を考えよう.
すでに(-1,-1)が交点,すなわちこの二式の連立の解なので,2次方程式
\begin{equation}
s^2+(m(s+1)-1)^2=2
\end{equation}
(s+1)で括られ,残りの解が
\begin{equation}
\displaystyle s=\frac{1+2m-m^2}{m^2+1},t=\frac{m^2+2m-1}{m^2+1}
\end{equation}
と得られる.あとはm=\frac{q}{p}と既約分数で表示したとき,s,t共に\frac{\text{奇数}}{\text{奇数}}となっているかを確認すればよい.計算すると
\begin{equation}
s=\displaystyle\frac{p^2+2pq-q^2}{p^2+q^2},t=\frac{q^2+2pq-p^2}{p^2+q^2}
\end{equation}
となり,p,q いずれか一方のみが奇数なら分母分子共に奇数,p,qいずれも奇数ならば
\begin{equation}
p^2+q^2\equiv p^2+2pq-q^2\equiv q^2+2pq-p^2\equiv 2\pmod{4}
\end{equation}
となるため,約分すればやはり分母分子共に奇数と分かる.


こうして任意の有理数mに対する組(s,t)が求めるもの全てとなり,更にp,qいずれか一方のみ奇数ならば
\begin{equation}
A=p^2+2pq-q^2,B=q^2+2pq-p^2,X=p^2+q^2,
\end{equation}
p,q共に奇数ならば
\begin{equation}
A=\displaystyle \frac{p^2-q^2}{2}+pq,B=\frac{q^2-p^2}{2}+pq,X=\frac{p^2+q^2}{2}
\end{equation}
と得られる.


もっとも,元の問題に立ち戻れば自然数和を考えていたので,
\begin{equation}
A=p^2+2pq-q^2=(p+q)^2-2q^2\ge 0
\end{equation}
\begin{equation}
B=q^2+2pq-p^2=(p+q)^2-2p^2\ge 0
\end{equation}
という条件,すなわち
\begin{equation}
(\sqrt{2}-1)p\le q\le (\sqrt{2}+1)p
\end{equation}
p,qに課されている.例えばこの条件下にあるq=p+1ならば,
\begin{equation}
A=2p^2-1,B=2(p+1)^2-1,X=2p^2+2p+1,
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
a=p^2,b=(p+1)^2-1,x=p^2+p
\end{equation}
となって,冒頭の学生が発見した等式に戻る.

また(p,q)=(3,5)とすると(A,B,X)=(7,23,17)すなわち(a,b,x)=(4,11,8)となり,新たな等式
\begin{equation}
4+5+6+7+8=9+10+11
\end{equation}
が見つかる.あるいは(p,q)=(4,7)とすると(A,B,X)=(23,89,65),すなわち(a,b,x)=(12,44,32)となって,別の新たな等式
\begin{equation}
12+13+\cdots+32=33+34+\cdots+44
\end{equation}
が得られる.q=2pも条件下にあり,このときは
\begin{equation}
A=p^2,B=7p^2,X=5p^2
\end{equation}
と綺麗な形になり,奇数pに対して新たな系列
\begin{equation}
a=\frac{p^2+1}{2},b=\frac{7p^2-1}{2},x=\frac{5p^2-1}{2}
\end{equation}
が得られる.



使っているのは高校数学程度なんだが,結構面白い.
おやおや,なんだかミイラ取りがミイラになりかかっているぞ...

今年もガッサガッサしてみた

この時期は毎年,担当講義である統計とコンピュータにてガッサガッサする実験をする.
tokidoki.hatenablog.jp

今年で3年目となるこの実験の元ネタは,啓林館のページにあった授業実践だった.
www.shinko-keirin.co.jp

ただし,気をつけないと隣のクラスからうるさいと言われかねない.
(実際,今年は隣で講義をされていた先生が何事かとそっと教室を見に来た.)
f:id:okiraku894:20150601112752j:plain

3年目ともなると結構な数の実験になる.一人50回×3年間実験参加者数272=13600回だ.
そうして得られた結果が以下.
f:id:okiraku894:20170626121052p:plain
ここまでくると コイン>ピン>キャップ のこの順が入れ替わるなんてことは
とんでもなく低い確率になろう.
実際,10×標準偏差分の幅を取ってやっとコインとピンが入れ替わる可能性が出てくる.
そしてその確率は7.7\times10^{-23}程度だ.
そんな評価ができるのも中心極限定理のおかげなんだが,
やっぱり学生にちっとも伝わらないのがこの現象.
もちろん今年も正方形ダーツボードの実験はしてもらうし,
なかなか軽い動作でシミュレーションできるこの回のEXCEL資料は
我ながら気に入っているのでまた掲載するよ↓
f:id:okiraku894:20150607135853g:plain
f:id:okiraku894:20150607145228p:plain

今年はこれに加えて「上か下か」のランダムウォークもEXCEL上で見せようと思った.
f:id:okiraku894:20170626124705p:plain
5本程度,1000ステップ分を描くと↑のようになるが,この程度ではふーんで終わる.
もっと本数を描いてみよう.例えば100本↓
f:id:okiraku894:20170626124706p:plain
こうなってくると形,いわゆる放物線がうっすら見えてくるのではなかろうか.
そしてこれらの軌跡は中心0に近いほど密度が高くなっている.
いるのだけどこれが平面では見せられない.
ということで今度は OpenProcessing にて立体的にこれを見せられるようにしてみた↓

上部は密度を立体的に表示し,その足元の影がランダムウォークの軌跡を表している.
因みに,パスの数が5000以下のときのみランダムウォークを表示するようにした.
それ以上の本数になるとヒストグラムと軌跡両方の表示はどうやら重すぎるので.


ところで全く関係ないが,とある事情によりイベントが急遽行われた.
この場を借りて,あざっす!
f:id:okiraku894:20170623122352j:plain

私の身の回りのべき乗則(2)―名字編

今クールNHKが放映している名字番組
「人名探究バラエティー 日本人のおなまえっ!」ってのがある.
www4.nhk.or.jp
帰宅がてら見るのにちょうど良い番組なのだけど,
レア名字編ではハンコタワー1つ5000種の印鑑で人口の80%がカバーできるとか,
10万種の印鑑の在庫を持つハンコ屋さんがあってそれでも人口の98%だとか,
って話を聞いてると,「おお!冪乗則!」ってなって,早速検索.
直ぐに名字ランキングサイトが見つかる.
以下のグラフはこのページから参照.
myoji-yurai.net
幸いにもその名字におよそ何人いるか,のデータも合わせて書かれてあったので,
冪乗則が調べられる.さてやってみたのが↓
f:id:okiraku894:20170609153627p:plain
EXCELが吐き出す近似曲線がy\fallingdotseq4\cdot 10^7x^{-1.14}で決定係数R^2が0.98を超える.
やはりなかなか良い冪乗則になっている様子.
\log-\log plot が↓
f:id:okiraku894:20170609153628p:plain

それでも何だか二次関数っぽくもあったので,\log_{10}-\log_{10} plotでの二次近似を行うと
X=\log_{10} x,Y=\log_{10} yとして
 Y= -0.189X^2 - 0.0647X + 6.1599,決定係数 R^2 = 0.9997 となった.
因みに,人数が一人,すなわち Y=0 となるのが X\fallingdotseq 5.54 で,
すなわちランキングとしては x=10^X\fallingdotseq 347014 となって,
名字が約29万種あると言われているところからすると,ちょっと多めの評価になる.
もっとも果たして「一人」の状態までカウントして良いのやら,というところでもある.
f:id:okiraku894:20170609173723p:plain


日本の名字は分家制で名字の派生が起こったり同じ読みのまま漢字を変えたり,と
名字の生成/消滅の過程は集団遺伝の力学系のようでもあって,
名字の力学モデルなんてのも考えても面白いのかもしれない.