残念な国(11)―「私たちは，複雑さに耐えて生きていかなければならない」

なんだかこの年末年始のような雰囲気は，改元に伴うものであるのだけど，
こうして雨模様が続くのは，陛下が水の専門家だからなのでしょうか．

多くの日本人が「新しい時代」を期待し，気持ちを新たにしている．
どこか昭和の後始末に終始した感のある時代に，
そして縮みゆく経済の中，再びこの国が閉塞感に覆われている昨今に，
あるいは区切りをつけたい，という深層にある願いも込められているのかもしれない．

前陛下の退位にあたって，ちらりとタイトルの言葉を久しぶりに最近メディアで耳にした．
そうだ，美智子様がその昔に発せられた，あの言葉，IBBYにおける基調講演からの一節だ．

そして最後にもう一つ，本への感謝をこめてつけ加えます．
読書は，人生の全てが，決して単純でないことを教えてくれました．
私たちは，複雑さに耐えて生きていかなければならないということ．
人と人との関係においても．国と国との関係においても．

第26回国際児童図書評議会(IBBY)ニューデリー大会(1998年)基調講演
「子供の本を通しての平和ー子供時代の読書の思い出ー」から

www.kunaicho.go.jp

「複雑さに耐えるということ」
いま風に言えば，ダイバーシティー，多様性を受け入れるということ．
価値観の違いを互いに乗り越え，存在を認め合うということ．
けれど多くの国々の舵取り役たちは，その複雑さに耐えられない，
あるいはあえて耐えることをせず，単純に割り切ることを進んで選んでいる．
tokidoki.hatenablog.jp

そしてご多分にもれず，この国も．
tokidoki.hatenablog.jp
「こんな人たちに皆さん，私たちは負けるわけにはいかない」と，
同じこの国に住む日本人をいとも簡単に切り捨ててしまえる政治家トップの単純さ，
目の眩むような複雑さを孕んだこの世界で，
「この道しかない」と断言できてしまう単純さは，
やはりこの先も大方の日本人に支持され続けるのでしょうか．
その結果，そうした単純化のしわ寄せを我々はこの先も甘受し続けねばならないのでしょうか．
我々は「しわよせ」ではなく「しあわせ」を望んでいるはずなのだけど．

この国を覆っている閉塞した空気．
かつてのような，あの皆が同じ方向を向くよう仕向けられる空気は，
「和」をモットーとする国民性に簡単に馴染んでしまう．

どうか，この世界の複雑さを都合よく覆い隠してしまいませんよう，
多様な存在が多様なままで居られる国でありますように．

橋をかける (文春文庫)

数理音楽の風景（２）－12ヶ月はLydianを奏でる

「数理音楽の風景」と題したエントリーを書いたのが，もう2年前のことだ．
tokidoki.hatenablog.jp
ちょうどその頃，極大均等性のコンセプト下での調性音楽理解の可能性が見え始めたところで，この点でいくつか書き物をしてきた．

• Spatio-temporal Symmetry on Circle Rotations and a Notion on Diatonic Set Theory
• A Dynamical Characterization of Myhill's Property
• Maximal Evenness Ansatz and Diatonic System
• Smoothness of Voice Leadings under the Maximal Evenness Ansatz

当初は準周期系の話題の延長線上での議論だったが，どういうわけか調性音楽の仕組みと極大均等性の相性が良く，いろいろと説明できてしまう．
あるいは典型的なカデンツである五度進行も説明できるものだろうか，などと思いながらボヤッと運転してたときに，「もしかして」と気づいた事実を動画にしたのが↓．

もちろん，12ヶ月の配置がこのようになっているのは歴史的な偶然だろうと思う一方で，31日ある7ヶ月分をできるだけ均等に12ヶ月に配置しようとした，という無意識/意識的な作用があったとしたら，やはり自動的にこの配置に，しかも一意的に決まる．

さてさて，何を言い出したのか．
今後，「数理音楽」エントリーに毎度現れるであろう極大均等性についてまずは書いておこう．
極大均等性(maximal evenness)とは，例えば白と黒の碁石を円形に並べたとき，白と黒の配置が「できるだけ均等になるように」並べた状態のことだ（いや，ちゃんとした定義は下でするけど）．

例えば白と黒が同数ならこれは簡単で，白と黒を交互に並べれば良いだろうし，白が黒の2倍あるなら，黒を3つごとに並べれば均等になるだろう．
一般に白 個，黒 個あって， の倍数関係にあるなら，黒を 個ごとに置けば良いはずだ．

では，倍数関係になかったらどうなるだろう．特に互いに素だったら．
よく高校生などに「白石７つと黒石5つをできるだけ均等になるように並べてごらん」というと，白黒を交互に並べて最後に黒の一つを白に変えるとか，黒を4つ配置した後どこか一箇所の白を黒に変える，といった回答をするがこれらはまだ均等に近くはない．

実際，白は重さがなく黒が の重りだったとして原点中心の半径1の円に上図のように並べたなら，それらの重心は計算すると（ただし，平均は12ではなく5で割ったがそれは本質ではない）それぞれ

\begin{align*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{1,3,5,7,11\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})&=(0,\frac{1}{5})\\
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{0,3,6,8,9\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})&=(-\frac{1}{10},-\frac{\sqrt{3}}{10})
\end{align*}
となり，どちらも重心は原点から距離の位置にある．しかし下図のように黒石を一つ隣に移動してみよう．

どちらも同じ配置になるので右の場合で重心を計算してみると，

\begin{equation*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{0,3,6,8,10\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})=(0,\frac{1-\sqrt{3}}{5})
\end{equation*}
となって，重心の原点からの距離は だからさっきより近くなる．
しかしこれよりもっと（そして実は最短となる）重心が原点に寄る配置が，まさにピアノ鍵盤における黒と白の配置だ．

右図にした場合，

\begin{equation*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{1,3,6,8,10\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})=(-\frac{2-\sqrt{3}}{10},-\frac{2\sqrt{3}-3}{10})
\end{equation*}
となるから，重心の原点からの距離は，つまり更に先程より近くなった．

さて，ここまで先延ばしにしてきた極大均等性のきちんとした定義を述べておこう．

【極大均等性】
0と1からなる無限に続く記号列 について，から同じ長さの任意の２つの有限部分列 を取ってくると，必ず

に含まれる1の個数と に含まれる1の個数の差は高々1以下
となるとき， は極大均等であるという．

これは語の組合せ論でいうところの balanced wordの定義に他ならない．
因みに，数理音楽の分野ではこれを Myhillの性質と呼んでいる．
なお，この定義において取ってくる有限部分列の長さはいくらでも良く，またの一部が被っていようと構わない．

では実際にピアノ鍵盤の場合に当てはまるか見てみよう．

この場合，白=0，黒=1として考える無限列は周期が12の列

\begin{equation*}
{\bf w}=\cdots \underline{010100101010}010100101010010100101010\cdots
\end{equation*}
となる．

• 長さ1の部分列のとき：要するに1文字なので0か1しかなく，だから含まれる1の個数の差は高々1．
• 長さ2の部分列のとき：現れる組み合わせは00，01，10のみで，だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1．
• 長さ3の部分列のとき：現れる組み合わせは001，010，100，101のみで，だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1．
• 長さ4の部分列のとき：現れる組み合わせは0010，0100，0101，1010，1001のみで，だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1．

以下，長さをいくら変えても含まれる1の個数の違いは高々1となることが観察できる．
特に長さを12の倍数に取ると，常に含まれる1の数は等しい．
こんなふうに，どんな長さで比較しようと1の現れ方のブレが高々1なので，とても均等に近い状態で1が並んでいるということになる．

つまり，12ヶ月に31日のある月7ヶ月分をできるだけ均等に並べたい，とか，12音に黒鍵5つをできるだけ均等に並べたい，と思うと，自動的にこの極大均等な配置になってしまうということだ．
さて，このままだと単なる偶然だったりオカルト的だったりするわけだが，少なくとも音階の成り立ちについては，連分数展開に関わるきちんとした数学的裏付けができる．
が，その話は，またの回にて．

Music Theory and Mathematics: Chords, Collections, and Transformations (Eastman Studies in Music)

AIは電気羊の夢を見るか

今週，ゼミ生6名の卒論の提出がとりあえず完結した（とりあえず）．
決まったタイトル一覧．

• 「ボーッと跳んでんじゃねーよ！ー跳躍軌道と踏切動作の力学モデルー」
• 「フェロモンは裏切らないー蟻コロニーモデルを用いた巡回セールスマン問題の解法ー」
• 「オオハシくんには騙されないー簡易ダウトゲームの必勝戦略ー」
• 「AIは電気羊の夢を見るか―誤差逆伝搬学習法とニューラルネットワーク―」
• 「数のダークマター,超越数ー無理数度，リュービル数，そしてリンデマンー」
• 「勝利の女神はあなたにハニカム？ーHEXの必勝戦略と不動点定理ー」

で，AIをネタにした卒論がこのエントリーのタイトル．
ピンとくる人はピンとくる，あの名作「ブレードランナー」の原作タイトルのパロディーだ．

ブレードランナー ファイナル･カット(字幕版)

アンドロイドは電気羊の夢を見るか? (ハヤカワ文庫 SF (229))

この映画が公開された当時の80年台，確かに第2次AIブームがあった．
当然自分も惹かれた分野だったのだけど，蓋を開けてみれば，その当時のAIはひたすら人間が場合分けを尽くしてそれをプログラムするといった，子供ながらに実に不毛だと思われる作業の繰り返しだった．
主にLISPで書かれたそれらプログラムは，「未来はそっちじゃない」と，そう確信できてしまうものばかりだった．

かつて子供の私は，人工知能というもう一つの知性の誕生に有る種の希望を見出していた．
人類とは違う知性，感情から完全に独立した知性というモノへの憧憬があった．
あの当時の研究ノートには確かに記されている．
「人工知能，いや人工知性が実現した暁には，君たちからみて人類はどう見えるのか尋ねてみたい．」と．

今や，人工知能のシミュレーションを個人がフリーで行える時代だ．
Sonyが提供するNeural Network Consoleはそのいい例だ．
dl.sony.com
今回の卒論も，この環境をフルに活用したものだ．

ところで，このエントリーを書こうと思ったのは，Googleが提供する，というか，実は参加することで人工知能への学習データを提供するという企てを知ったからだった．
quickdraw.withgoogle.com
これ，面白いよ．
もう，そうとう学習が進んでいるらしく，かなり怪しい絵でも分かってくれるようになっている．
マウスで描くとかなりメチャクチャなんだけど，分かってくれる．
で，「川」が出題されたのだけど，これが意外と難しくて判定してもらえなかった．
こうして，世界中の人がゲームとして参加しているうちに，GoogleAIは賢くなっていくって塩梅だ．
うまいよな，人間をゲームに誘って学習データを集めるっていう設計が．

Sigma2018の新年会！

絶滅危惧種として登録されていた数学同人 Sigmaは，ひょんな事で今年度は人数が集まっている．

で，新年会が行われた．


いや，メンバーホントは15人いるのだけど，バイトやら何やらで参加者こんな感じ．





サイドメニューとかもつけたので，結構腹がふくれた．


しかし，実質活動メンバーはこのところ少ない．
皆がともに熱くなる話題，活動がなかなか定まらないところに原因が有るのだろうな．

算数事始め(2)

シリーズにするつもりはなかったんだけど，また虱潰しに調べてみたので，報告．
tokidoki.hatenablog.jp

算数科研究ネタ探しを続けているが，調べるとこんな算数活動もあるらしい．

　□□＋□□=□□
1,2,3,4,5,7全てを□に当てはめて，正しい式にしましょう．
（小学2年生向け）

ちょっと考えると例えば

なんて出るわけだが，こういった繰り上がりのないパターンは桁の入れ替えが自由にできるので

とパターンが生まれる．そしてこれ以外には無さそうだ．

さて，こうなると他の6つの数で試すとどうなるか，が気になってくる（でしょ？）．
探すと繰り上がりが有るパターンもある．例えば 1,2,3,4,5,8に変えると，

という具合で，今度は単なる入れ替えでない．というのも1の位での繰り上がりは許されるが，それをこのゲームのルール上10の位に持ってくるわけに行かないからだ．それでもそれを補完するように別の組み合わせで合計8パターンとなる．
ところが同じ繰り上がりが発生していても補完パターンが無いものも有る．例えば1,2,3,4,6,9だ．

その一方で，12パターンある組み合わせもある．1,2,4,5,7,8を選ぶと，

となる．ところが，反対に全く何も作れない組み合わせもある．それが結構ある．
たとえば，1,2,3,4,5,6や1,2,3,5,6,8などなど．

さて，これをチマチマ探したのかというと，ご想像の通り，また10進BASICで先回りして調べた．
結果一覧が以下．要するに1から9の中から3つを選ばないので全部で通りの数の組み合わせを全部調べれば良い．
先頭の(123456)などが使用する6つの数，その後は実際の解．

【パターン数=0 】つまり解が無いもの．28個．

【パターン数=4】14個．

【パターン数=8】40個．

【パターン数=12】2個．

まぁ，まずはとにかくやってみることだ．

おっと，また整理されてないBASICソースを．

REM
REM [算数科研究ネタ]
REM 「6つの数で二桁足し算□□+□□=□□を作る」
REM Ver. 2019/01/04
REM

LET nums$="123456789"
FOR p=1 TO 9
   LET X$=nums$
   LET X$(p:p)=""
   FOR q=1 TO 8
      LET X0$=X$
      LET X0$(q:q)=""
      FOR r=1 TO 7
         LET X1$=X0$
         LET X1$(r:r)=""
         PRINT "For [";X1$;"]"
         LET LL=LEN(X1$)
         FOR i=1 TO LL
            LET D2$=X1$(i:i)
            LET X2$=X1$
            LET X2$(i:i)=""
            FOR j=1 TO LL-1
               LET D1$=X2$(j:j)
               LET X3$=X2$
               LET X3$(j:j)=""
               LET a=VAL(D2$&D1$)
               FOR k=1 TO LL-2
                  LET D4$=X3$(k:k)
                  LET X4$=X3$
                  LET X4$(k:k)=""
                  FOR l=1 TO LL-3
                     LET D3$=X4$(l:l)
                     LET X5$=X4$
                     LET X5$(l:l)=""
                     LET b=VAL(D4$&D3$)
                     IF a+b=VAL(X5$) THEN
                        PRINT USING"##+##=##":a,b,VAL(X5$)
                     ELSE
                        LET X5$=X5$(2:2)&X5$(1:1)
                        IF a+b=VAL(X5$) THEN
                           PRINT USING"##+##=##":a,b,VAL(X5$)
                        END if
                     END if
                  NEXT l
               NEXT k
            NEXT j
         NEXT i
         PRINT "-----------------------"
      NEXT r
   NEXT q
NEXT p
END

本当はすごい小学算数