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バランスをとる数(1)―入り口は1+2=3

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いまや当大学における絶滅危惧レッドリストの筆頭に挙げられる数学同人Sigmaでのある一幕.
ホーム - aue-sigma ページ!
www.aichi-edu.ac.jp

久しぶりに教育実習から返ってきたメンバーが「実習中にこんなこと見つけた」と鼻息荒く話していた話題なんだが,それは例えば
\[1+2=3\]\[4+5+6=7+8\]\[9+10+11+12=13+14+15\]\[16+17+18+19+20=21+22+23+24
\]といった連続整数の和についての等式だった.つまり一般に
\[
\displaystyle\sum_{k=0}^a (a^2+k)=\sum_{k=a+1}^{(a+1)^2-1}(a^2+k)
\]ということだ.あるいは
\[
\displaystyle2\sum_{k=0}^a (a^2+k)=\sum_{k=0}^{(a+1)^2-1}(a^2+k)
\]と言い換えても良い.そしてこれは任意の自然数aについて確かに正しいことが計算すれば分かる.



さて,本当の遊びはここからだ.では一般に
\[
\displaystyle2\sum_{k=a}^x k=\sum_{k=a}^b k
\]となるような自然数a\le x\le bの組はどんなものだろうか?計算すれば
\[
2(x-a+1)(x+a)=(b-a+1)(b+a)
\]すなわち
\[
2(2x+1)^2=(2a-1)^2+(2b+1)^2
\]となる.X=2x+1,A=2a-1,B=2b+1と置けば奇数A,X,Bの組で
\[
A^2+B^2=2X^2
\]を満たすものを探せということになる.あるいはs=\frac{A}{X},t=\frac{B}{X}と置けば,
\[
s^2+t^2=2
\]を満たす有理点(s,t)で,分母分子共に奇数になっているものを探せ,ということになる.


そこでとりあえず有理点(s,t)を探すわけだが,例えば(s,t)=(\pm1,\pm1)などがすぐ見つかる.
図形的に見やすい(-1,-1)を足がかりに,有理数m>0を傾きとする直線 t=m(s+1)-1s^2+t^2=2 の交点を考えよう.
すでに(-1,-1)が交点,すなわちこの二式の連立の解なので,2次方程式
\[
s^2+(m(s+1)-1)^2=2
\]は(s+1)で括られ,残りの解が
\[
\displaystyle s=\frac{1+2m-m^2}{m^2+1},t=\frac{m^2+2m-1}{m^2+1}
\]と得られる.あとはm=\frac{q}{p}と既約分数で表示したとき,s,t共に\frac{\text{奇数}}{\text{奇数}}となっているかを確認すればよい.計算すると
\[
s=\displaystyle\frac{p^2+2pq-q^2}{p^2+q^2},t=\frac{q^2+2pq-p^2}{p^2+q^2}
\]となり,p,q いずれか一方のみが奇数なら分母分子共に奇数,p,qいずれも奇数ならば
\[
p^2+q^2\equiv p^2+2pq-q^2\equiv q^2+2pq-p^2\equiv 2\pmod{4}
\]となるため,約分すればやはり分母分子共に奇数と分かる.


こうして任意の有理数mに対する組(s,t)が求めるもの全てとなり,更にp,qいずれか一方のみ奇数ならば
\[
A=p^2+2pq-q^2,B=q^2+2pq-p^2,X=p^2+q^2,
\]p,q共に奇数ならば
\[
A=\displaystyle \frac{p^2-q^2}{2}+pq,B=\frac{q^2-p^2}{2}+pq,X=\frac{p^2+q^2}{2}
\]と得られる.


もっとも,元の問題に立ち戻れば自然数和を考えていたので,
\[
A=p^2+2pq-q^2=(p+q)^2-2q^2\ge 0
\]\[
B=q^2+2pq-p^2=(p+q)^2-2p^2\ge 0
\]という条件,すなわち
\[
(\sqrt{2}-1)p\le q\le (\sqrt{2}+1)p
\]がp,qに課されている.例えばこの条件下にあるq=p+1ならば,
\[
A=2p^2-1,B=2(p+1)^2-1,X=2p^2+2p+1,
\]すなわち
\[
a=p^2,b=(p+1)^2-1,x=p^2+p
\]となって,冒頭の学生が発見した等式に戻る.

また(p,q)=(3,5)とすると(A,B,X)=(7,23,17)すなわち(a,b,x)=(4,11,8)となり,新たな等式
\[
4+5+6+7+8=9+10+11
\]が見つかる.あるいは(p,q)=(4,7)とすると(A,B,X)=(23,89,65),すなわち(a,b,x)=(12,44,32)となって,別の新たな等式
\[
12+13+\cdots+32=33+34+\cdots+44
\]が得られる.q=2pも条件下にあり,このときは
\[
A=p^2,B=7p^2,X=5p^2
\]と綺麗な形になり,奇数pに対して新たな系列
\[
a=\frac{p^2+1}{2},b=\frac{7p^2-1}{2},x=\frac{5p^2-1}{2}
\]が得られる.



使っているのは高校数学程度なんだが,結構面白い.
おやおや,なんだかミイラ取りがミイラになりかかっているぞ...

動機づけの内在化への挑戦―その後―

2年前に同じようなタイトルでエントリーしたのだけど,
今年度のScratch作品の紹介をここでしておこうと思った.
tokidoki.hatenablog.jp

この数年,何をしても反応が薄くなっていくので
今年度はもうどうなるものかと思ったが,意外にも高度な作品が生まれていた.
最終課題は例によってクローンか配列が使われていればOKの自由題.
それ以前の課題にも素晴らしいものが多くあったのだが,
今回は最終課題のみから抜粋,早速紹介しよう.
おっと,多くがgifアニメだから重いよ.



【数理部門】
256-14final
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小学低学年向けの算数教材.
一桁の引き算について「求残」と「求差」の二通りの考え方で説明している.
地味なんだけどよく見ると細かい様々な配慮がなされていた.

303-14final
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油分け算として知られる算数の問題を試行錯誤できる作品.
コップに入っているジュースの量をどう表現するのかと思ったが,
各量に対するコスチュームを作って対応していた.

【ゲーム部門A―アクション系】
初めにスタンダードではあるのだけど,かなり手をかけたと思われるシューティングゲームから.
272-14final

多彩な敵や弾の軌跡,多数のステージ等々,スタンダードではあるけれど十分に手がかけられていた.

306-14final
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様々な点で高度なプログラミングが成されていた作品.
なにしろ,説明文からして配列に入っているセリフから一文字ずつ表示させていく仕組みとなっていて,
そこだけでも十分な工夫になっている.重力のあるジャンプ系ゲームで進行するのだが,
そしてゲーム自体,自分にはとてもクリアーできない難しさだったのでデモではインチキしまくり.

【ゲーム部門B―謎解き型】
627-14final
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いわゆるパズルを解いて脱出する脱出ゲーム.
謎解きに使われた謎たちもさることながら,
カギ番号の入力方法や若干マルチエンディングになっているところなど,
よく考えられていた.

242-14final
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ミステリー仕立ての謎解きゲーム.
セリフを配列に入れ,登場人物によらないシステマティックなセリフ表示法とか,
プレイ時間が長くなることを配慮した「途中でセーブ」できるシステムとか,
犯人を捕まえるシーンではアクションゲームになったりだとか,
ストーリー性の高い作品となった.

【ゲーム部門C―パズル系】

275-14final
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いわゆるポーカー.実は2ペアを判定してくれない,とか色々不備はあるのだけど,
時間があればきちんと判定できるものになったであろう.
カードを扱うには配列の上で様々な置換計算が必要となる.
幸いコスチューム番号を使えたからこのあたりの発想がしやすかったのだろう.

295-14final
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神経衰弱.ただしコンピュータとの対戦型で,難易度も指定できる.
はて,どうやってコンピュータの難易度を決めたのだろうと見てみると,
どの程度カードを検索させるか,その範囲と確率で決めていた.
なお,カオスモードは一度でも間違えると全部カードが取られてしまう,無理ゲーになっている.

297-14final
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テトリス.Scratchの場合,ブロックの種類だけスプライトを用意しておいて
それを通常通り移動させると思うのだが,これはそういう作りではない.
いわゆる2次元配列のドット絵としてブロックを作り,
配列要素の入れ替えによって移動をする,というものだ.
なるほど,一列揃ったかどうか,こちらのほうが判定しやすいもんね.

294-14final
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ターン制のゲーム.次第に増えるモンスターに対して如何に複数からの攻撃を避けながら攻撃するか,
その移動方法に知恵を使うパズルゲーム.

288-14final
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言わずと知れたパズ◯ラなのだが,これをまさかScratchで作るとは思わなかった.
もちろん毎度色の判定と検索をしているので動作が遅くなるのは仕方ないのだが,
アイディアの地道な組み合わせでこんなものが作れてしまうわけだ.
「俺の知ってるScratchじゃねぇ」感たっぷりの,今年度最も驚いた作品である.

砂の果実 ― 結局,僕らは何を教えているのだろう ―

そういえば昨年の秋,京都教育大学の谷口和成先生を招いて
アクティブラーニングの授業実践のFDが行われた.
www.aichi-edu.ac.jp
大学教員と同数程度の学生も参加していたという,なかなか珍しいFDだったのだが,
近年に無く鮮やかなショックを与えてくれたので記録しておこうと思った.
しかし何しろ半年前のこと,ショックだけは残っているものの内容はすっかりうろ覚え,
関係論文を見ながら再現してみよう,あの砂を噛むような感覚を.



今回の内容は中学レベルの直列・並列回路に関する「誤概念」を素材に
講義の中で「主体的・対話的な学び」を引き起す,
一つの具体的提示を行ったものだった.
ci.nii.ac.jp
中学校電気分野における電位概念の導入と学習教材の開発

クリッカーやらタブレットやらIT機器を利用して
対話的に全員参加を促す仕組みについては諸論あるところだろうが,
そういったことがショックだったわけではない.
参加学生はもちろん教員養成大学の学生であり,しかも理系が半数ぐらいいたはずだ.
そしてテーマは中学校の直列・並列.
中にはあと半年もすれば現場で実際に理科を教える者もいただろう.

講義の入り口は電圧・電流・抵抗の関係を思い出すところから.
そもそも抵抗ってなんだっけ?的な質問から始まった(のだっけ?)
「他の説明は?」と,できるだけ多様な言い方を学生らにしてもらう.
そうして出てくる答え方の数,言葉の種類から
その事象についてどこまで分かっているか,が見えるとともに,
中には間違った理解「誤概念」が現れてくることもある.
そうそう,この「誤概念」を一つのツールとして利用するのはオオアリだなぁ,
とそのとき思ったのだった.比較的多くの学生が間違って理解していること,
それをネタに学生同士で議論させると自然に対話的・主体的な学びになりやすい.
「よく分かっているつもり」だったことが違っていたら必死になるだろうし,
あるいはこの議論の中で,なぜ相手がそういう誤解をするのだろうか,
どう考えるとそういった誤答になるのか,という想像力は
まさに教員として現場に立つ者達にとって最重要な力だろうと思うわけだ.

そんなこんなで電流・電圧・抵抗を思い出させ,
対話的に電流と電圧の関係のグラフをタブレットに描かせて
結果一覧をスクリーンに映したりしていた(のだっけ?)
何にしても少し時間を掛けて電圧と電流の比例関係であるオームの法則
   E=IR
に落ち着くところまで進む.
つまりこうして一度きちんと準備しておいたのである.
このとき確か「抵抗とは電流の流れにくさを表す」という言葉を
受講者側から引き出していたと記憶している.

さて問題はここからだ.
(学生の反応が問題だ,と言いたかったのだが,
 こちらも提示された問題がどんなものだったか再現できなくなっていることに
 こうして書きながら気付いたので二重の意味で問題なのだ.)

電球(それは抵抗の一種)のある適当な回路を見せて
直列か並列かを議論する場があり,アヤシイ解答をするグループがあったものの
まだ頷ける範囲の間違え方だった(ように記憶している).
ただ,どの問いに対しても学生の解答を一覧で示し学生同士で議論させるのみで,
正解を言う,といった場面はあえて作っていなかった.
そして同等な電球の並列つなぎは同じ明るさだったよね,といったことを復習してから,
「誤概念」が最もよくあらわれる問題を提示した.
A,B,Cの豆電球を明るい順に並べよ(ただこの問題は後付け.もっと違った気がする).
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きっと習いたての中学生なら高確率で正解を言う問題(のはず)だ.
(もちろん乾電池と電球はどれも同等だとする.)

さてすぐに映し出される解答の集計を見ると,これがかなりばらつくことが分かる.
そこでそれぞれのグループにそう考えた理由を尋ねると,
見事に「誤概念」に基づく説明が出てくる.
いわゆる教科書にも援用されている水流モデルを用いて
枝分かれがあるような並列つなぎでは「電流が分かれるので」
並列つなぎでは電球が暗くなる,というものだ(実際はA=C>Bとなる).
もちろんその講義では正解を示す,などといった野暮なことはしない.

では自分の考えが正しいことを周りに説明し説得しよう,という時間が設けられる.
先ほど私たちは電圧と電流の比例関係
   E=IR
を確認したところだったね,と付け加えて.
やがて各グループからそれぞれの説明が発言されるのだが,
そこからはこの水流モデルに基づく誤解がかなり強力なのだということが窺える.
おっと,忘れてはいけないのはこの場には物理専攻を中心とする理系がかなり居たこと.
にも拘らず,元となる関係 E=IR に基づいた説明がなかなかなされない.
(もうこの時点で理科の先生方は学生らの反応を見て頭を抱えていたのだが.)
そして私が,そしておそらくそこに居られた理系の先生方全てが,
最もショックを受ける瞬間が訪れたのだった.

或る理系グループから
「並列回路の合成抵抗を計算するとAの抵抗の半分になるので,全体の電流はAの2倍になり,
それが枝分かれするので電球Cに流れる電流はAに流れる電流と等しく,だから同じ明るさになる」

といった説明が出る.この時点で理系教員全員が
「いやいやいや,そうではなくって」というツッコミを内心でしていた矢先に,
頭を抱えるある数学の学生.
「お,君は今なぜ頭を抱えた?」と谷口氏が尋ねると,
「合成抵抗という考え方をすっかり忘れていたことにショックを受けました.」
との返答.もう,ここにきて我々教員,全員ツッコんでいた.
「そこかよ!」

「え,合成抵抗の考えを使って答えて何がいけないの?」
と思う学生もいることだろう.説明が間違っているわけではない.
だが,概念を十分理解した上での解答だとはとても思えない.
たとえて言うならこの解答は,「2^33^2ではどちらが大きいか」という問いに,
「それぞれの常用対数を取ると
\log_{10}2^3=3\log_{10}2\fallingdotseq3\times0.3010=0.9030
\log_{10}3^2=2\log_{10}3\fallingdotseq2\times0.4771=0.9542となり,
\log_{10}2^3<\log_{10}3^2が分かるから2^3<3^2である.」
と答えているようなものなのだ.
そんなことせずとも,直接2^3=8<9=3^2が分かるよね?
つまり,電球A,Cいずれも乾電池一つ分の電圧がかかっていること,
そしてオームの法則に従って同じ量の電流が流れていることさえ分かれば良いわけだ.
先ほどの合成抵抗の考えはこの「同じ電圧がかかる」という事実から導かれることであり,
だから合成抵抗を使って答えるのは本末転倒なのだ.

常用対数を使った2^33^2の比較が滑稽だと皆が感じるのは,
2^3=2\times2\times2,3^2=3\times3 だということが十分分かっているからに他ならない.
100歩譲って少なくとも教員養成大学の理系学生なら「合成抵抗による解答」が滑稽だ,
と思えるぐらいにオームの法則を身につけているものだと思っていたのだったが,
もしかすると答えた学生も頭を抱えた学生も「すごい解答だ!」と思っているかもしれない.

講演者を含め,微妙な空気に教員全体が包まれてやがてFDは終わった.

このFDでも経験したことなのだが,どうやら「理解する」という意味自体が,
この数年で我々教員世代と学生世代で急速に違ってきているように思えてならない.
つまり学生にとっての理解とは「念仏を正しく唱えられること」のようなのである.
彼らにとってその念仏が意味するところはあまり重要でないようなのだ.


19世紀末,足し算のできる馬「賢馬ハンス」というのが世間を騒がせたそうだ.
賢馬ハンス - Wikipedia
足し算の問題を出すと,その答えの分だけ蹄で地面を叩くというのだ.
もちろん,この馬は足し算を「理解している」わけではなく,
聴衆の期待を敏感に感じて,つまり「その場の空気を巧みに読んで」反応していたに過ぎない.
聴衆はそれを見て「すごいすごい」と褒め称やしたわけだ.
しかしハンスは自分の行っていること,つまり足し算の概念を永遠に知ることは無い.
彼にとって出題者の表情の微妙な変化を読み取ることが目的の全てだからだ.


思えばセンター試験に代表される穴埋め式,選択肢式ペーパーテストといったものは
この「賢馬ハンス」を大量生産しやすい仕組みだった.
大量に過去問を収集し大量にこなせばある程度のパフォーマンスが出せる仕組みだから,
世代を経て次第にこうしたテストへの「お勉強の最適化」が行われてきたことは,
今振り返るとごく当たり前の結果だった.
当然我々教員世代もこのテストへ特化した勉強といったものを経験している.
けれども多くの私たちは「今はテスト特化モード」という意識を持って対応していたと思う.
つまりテストとは無関係の学びの形も心の中には同時に維持していたのだ.
どこかしら「たかがテストごとき社会システムに我々の知性が侵されてなるものか」
といった意地もあった気もする.
そこには「知」へのはるかな憧憬とある種の畏怖の念も存在していた.
子ども心にもそんな風に「知」に対峙できる十分な時間のあった幸せな時代だった,
ということなのかもしれない.

この国は貧しくなった.
経済的にも心理的にも,そして知性の点でも.
あるいは,時間的に貧しくなった,と言ってもいい.

3/8の朝日新聞の読者投稿欄に「読書はしないといけないの?」という,
教育学部の学生の投稿があった.
その主旨は,これまで読書をしてこなかったが特に困ることもなく,
読書が生きる上での糧になることもなく,生きる上で特段必要でもない.
だから楽器やスポーツと同じく趣味の問題なのではないか,というものだった.
「お勉強最適化」ここに極まれり,といったところだ.
www.asahi.com
(けれどこれは他人事ではなく,当大学でも本を読まない,
 正確には「読めない」学生が多い.そんな彼らもやがて教育現場に向かうわけだ.)

読書をしないことがいけないとか,お勉強最適化がいけないとか
そんなことはどれだけ言ったところで糠に釘である.
そもそもそんなことは言われて変えられるようなものではない.
けれど曲がりなりにも知性あるいは「知」に関わることになる教育学部の学生である.
この先も外発的な理由によってしか自分自身の知性に関わろうとしない態度のままで,
果たしてどれだけ子どもの知性の働きに気付けるだろうか?
どれほど真面に子どもの知性に向き合えるのだろうか?

外発的な「最適化されたお勉強」と内発的な手探りで泥臭い知の探究の対比.
それはちょうど道徳と倫理について平易な言葉で説いた池田晶子さんの言葉に似ている.

『悪いことはしてはいけないからしない』,これは道徳であり,
『悪いことはしたくないからしない』,これが倫理である.
『善いことはしなければいけないからする』,これが道徳であり,
『善いことをしたいからする』,これが倫理である.
                   池田晶子「私とは何か」

試験に最適化されたお勉強が学びの全てとなっている今の多くの学生に,
私たちは果たして何を伝えられるのだろうか.
明治開国以来,近代化を目指し直走ったこの国が行き着いた場所.
結局私たちが得たものは,砂の果実だったのだろうか.

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砂の果実

砂の果実

私とは何か さて死んだのは誰なのか

私とは何か さて死んだのは誰なのか

オープンキャンパス2016-本番!

連日報告している,オープンキャンパス,その当日.
tokidoki.hatenablog.jp
tokidoki.hatenablog.jp

数学の学生がやるのは初日の一番最初の時間.
開始15分前はまだ誰も来ず.果たしてお客さんは来るのだろうか?

という心配を他所に,10分前に突然人があふれ出す.廊下に立ち見が出るほど.
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って状態で,いざ開始.あれ,緊張してる?
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今年はネタが二つ.一つ目は平面図形の重心のちょっとした求め方.
点対称な図形なら分かりやすいのだけどね.
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さて,ハートはどう求めますか,ってなると,みな混乱.
紙とはさみを渡して生徒らに試行錯誤してもらう.
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ところがある方法を使えば簡単に重心が求められる.
愛知県の重心だって求められるよ,さて,どうやるのかな?
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ってことで,画鋲と錘付きの紐を配って再びディスカッション.
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さて,種明かし.愛知県に画鋲をぶっ刺して,ぶら~んとさせます.
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で,錘を使ってゴニョゴニョっとを2回やると,じゃ~ん,重心が求まります.
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こうして一つ目の話題おしまい.
次は簡単な代数を利用した「生き残りゲーム」
はい,参加してくれる人!
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って募ったらすぐに手が挙がって,お陰様でスムーズに進む.
皆さん前に集まって,何やら作戦会議.
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そして完成したのがこのシュールな画.
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後ろから順に自分の帽子の色を当ててもらうのだが,
当然ヤマ勘だから外れる人も出る.そして高校生,ナイス表情.
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と,突然始まる,予想外の二人芝居.
右の少年の無茶ぶりにも(き,聞いてないよ)とはならず,咄嗟に対応する左の少年.
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このゲーム,一番後ろ以外は確実に色を当てられる方法がある.
その様子をまずは種明かしせずスタッフが実演してみせる.
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種明かし後,再び高校生にやってもらったところ,見事成功.
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「みんな,分かってくれたかな?分かってくれた人!」「ハイ!」
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ってかんじで,模擬授業を終わります.パチパチパチ!
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笑いあり,考える時間あり,ディスカッションもあり,で高校生らも楽しんでくれた模様.


さて,ひと仕事終えたら,やっぱピザパだね!
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準備ができたので,かんぱ~い,お疲れ!
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いただきますっ,から~の,
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かかれっ!
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パクッ,そしてウマし.
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今回初めて二年生中心で短期間に準備したのだけど,
久しぶりに教育大学の学生らしく快活で,またよく教育に配慮した模擬授業になったと思う.
テスト期間中,忙しいにもかかわらず,あらためてご協力に感謝!

オープンキャンパス2016―準備(リハーサル)

昨日に引き続き,オープンキャンパス準備.本日はリハーサル.
tokidoki.hatenablog.jp

何となくピザを要求する少女.(まぁ,言い出したのは僕だけど.)
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新たに2年生有志が生徒役として参加してくれた.これはありがたい.
さて,時刻をセットして,と.
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「これから,数学科の模擬授業を始めま~す」的なシーン.
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ひとつ目の話題は「重心」.
特に非対称な図形の重心をどう求めるのか?が本題となる.
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実際に形を切り抜いてもらって,生徒らに考えてもらうシーン.
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後半の話題は自分が被せられた帽子の色を当てる「生き残りゲーム」.
mod 2バージョンなら,その場で生徒らも理解して実行できるかもしれない.
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うん,だんだん形になってきた.
互いにアイディアを出し合ってとても上手く事を進めてくれた.
さて,明日本番,お客さんは集まるかな?どんな仕上がりになるかな?
色々と楽しみであった.