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Benford則を見てみた

今年も講義「統計とコンピュータ」がはじまった.
それが一般の学生なら興味を持つ話題であっても数学の学生はデータを眺めることが嫌いだ,というこの十数年の経験が気持ちを曇らせるのだけど,また新たなネタ作りを試みている.
今年はBenford則をやってみよう.というより統計教育でよく取り扱われる標準ネタであるものを今までやっていなかったことに気付いた.
ベンフォードの法則 - Wikipedia

下準備で比較的大きな桁数まで現れそうな株式市場からのデータに適用してみた.
2018年3月30日の東証一部上場企業4019社の「始値」と「出来高」それぞれの最高桁の数字の分布を眺める.
始値については「株価」としての適正な価格範囲が共通認識としてあるために理論的になるはずの分布からややずれる一方で,出来高については発行株式数が巨大な企業もあるために,Benford則が綺麗に表れている.
おお,ネタにするには良い感じだ.
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一方,数学の学生が興味を持ちそうな,与えられた数のべき乗の先頭の数字についてもやってみた.
(1.1)^n から (1.5)^nn=1 から 1000 まで行って各々先頭の数字を拾った.
こちらは更に見事にBenford則に当てはまっている.
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結局のところ,これらの現象は確率変数  X\log_{10}X の小数部分が [0,1) で一様分布することが元になっているのであって,何か珍しいことが起こっているわけではないのだけど,見た目にはへ~っとなりやすい.

そもそも数  X の最高桁の数が  m だということは適当な自然数 e によって
\begin{equation}
m\cdot 10^e\le X < (m+1)\cdot 10^e
\end{equation}と書けるということであり,
\begin{equation}
e+\log_{10}m \le \log_{10}X < e+\log_{10}(m+1)
\end{equation}となるから,つまり \log_{10}X の小数部分を眺めているに他ならない.そして
\begin{equation}
\sum_{m=1}^9\left(\log_{10}(m+1)-\log_{10}m\right)=1
\end{equation}となるものだから,ちょうど  \log_{10}(m+1)-\log_{10}m が数字  m の現れる確率となる.

特に数  \alpha\ (\log_{10}\alpha\not\in \mathbb{Q}) のべき乗ならば, n\log_{10}\alpha [0,1) に一様分布するという良く知られたWeylの定理があることから,殊更Benford則がはっきり表れることになる.

さて,このネタ,反応あるかなぁ...

新入生の気持ちをテキストマイニング

初年次演習なる大体全国の大学に導入されるようになってきた講義から.

本日第一回を行って,Google Formにてとりあえず気持ちのアンケートを取ってみた.

  • 問1.小学校から高等学校までの教室での授業(校内を含む)の中で最も印象に残っている良かった授業について1 つ以上,それが良かった理由や好きになったきっかけは何だったか?
  • 問2.小学校から高等学校までの教室での授業(校内を含む)の中で最も印象に残っている嫌いだった授業について1 つ以上,それが嫌いになった理由やきっかけは何だったか?
  • 問3.あなたが大学の講義に望むこと,期待すること,求めることは何?

これら記述式の内容54人分を集め,最近お気に入りでよく遊んでいる,User Localで使わせてくれるフリーのテキストマイニングにかけてみた.
www.userlocal.jp

2種の文章データを対比させてマイニングしてくれるので,問1と問2を対比させてみた.
Aが好きだった授業,Bが嫌いだった授業.
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好きな授業では学生の能動的関わりが現れるのに対し,嫌いな授業では受動性をもたらすような単語が並ぶ.おやおや,なかなか見事な結果だ.まさにR. deCharms の唱えるところの「自己原因性」が必要なんだってことだし,E.L.Deci が示したように「内発的動機づけ」が重要なんだってことだ.

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問3.の大学講義に望むことについてはどうだろう.
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やはり教員養成大学.一番に「教員」が出てくる.
そして実用志向がある一方で,深く学びたいという声も聞こえてくる.

ホント,この時期の新入生は良い.やはり希望に満ち溢れ,活き活きとしている.
彼らの学びのモチベーションがどうすれば維持されるのか.
教育システムに,そして我々に常に課せられている仕事のはずなんだ.
はずなんだけどね.

人を伸ばす力―内発と自律のすすめ

人を伸ばす力―内発と自律のすすめ

ようやく卒論審査会 in 2018

今年度もようやくここまで来ました.
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タイトル,一人だけまだ決まってないとき.


緊張の本番開始.
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結構うすい環(わ)ぁ,土星の環
―重力ポテンシャルを利用した惑星環形成のモデル―

土星などの惑星環が薄く形成されてしまう理由を簡単な力学だけで説明を試みたよ.


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タネト――ク
―カードマジックを離散力学系で読み解く―

カードシャッフル・トリックにまつわる数理的現象を離散力学系として分析した.その場でマジックをする初めての試み.


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matrix( 母 ) をたずねて三次元
―高次元ピタゴラス数のネットワーク―

ピタゴラス数を産む有名な行列の話を3次元にも拡張できないか試みた話.今回は3次元にお母さんは見つからなかった.果たして3次元以上にお母さんはいるのだろうか?


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効率ファースト
―待ち行列を用いたより効率的なレジ待ち並びの提案―

待ち行列理論をレジ待ちに適用した.あんなに苦労した不等式評価がさらっと登場しただけなんだけど,発表するとやはりそうなるのかな.


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ゼミ友学園
―研究室マッチング問題,忖度を添えて―

色んな意味でブラックジョークを交えて,1対多マッチング理論とその応用.Scratchによるアルゴリズムの提示を今回初めてやってみた.


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ゼミの中心で「あ~」と叫ぶ
―線形予測を用いた sin 波の合成―

Excel VBAも使わず,ほとんど手作業で線形予測による母音の合成を行うという力作.いやホント,合成が間に合ってよかったよ.ちゃんと「あいうえお」って聞こえたし,ね.


うん,何とかなった,今年も.皆の者,乙.



他のゼミの発表を見て改めて考えさせられる点,多々あり.
徐々にうちのゼミも下学年に「分かった気にさせる」方向を取ってきたのだが,
果たしてそれをどこまですべきなのか,ということだった.
つまりこれら発表が「誰」あるいは「何」に対して行われるべきか,ということだ.
他ならぬこれは「卒業論文審査会」であって,ゼミの宣伝会ではない.
審査員向けの研究発表が本題であることに変わりはなく,
その点に真摯に向き合っているかどうか,は守らねばならない点だ.

しかし一方で下の学年の勉学への意欲向上につなげる,という目的もこの審査会にはある.
(と思ってたけど,そう?)
分かりやすいところ,受けの良いところだけを掻い摘んで発表するスタイルも,
真の研究内容の誤解を招かない範囲で行われても可,とも思える.
分からない話が延々と続くのであれば,彼らの意識も持たない.
ちょいちょい下学年向けの小ネタを挟みながらのトークも必要悪なのかもしれない.
さて,ではどうあるべきだろうか?

下学年には悪いのだけど,表面だけ「分かったつもり」になってもらうこと目指しながらも,
(それはきっと十分な間をかけて研究動機を語ることなのだろう)
分かっている人が見れば研究内容の本質がちゃんと語られている,
そんなプレゼンが落としどころなんだろうかね,という気になってきた.
この辺りのバランスが難しいし,教員目線だけでは分からないところだったりする.
ああ,でもそうだな,自分だったらこのネタ,どうプレゼンするかな,って思えば行ける気がする.

どちらにしてもそろそろBeamerを超えた,視覚に訴えるプレゼン道具が必要に思えた.
(え,なに,結局keynoteが羨ましい,という話かい?)


って,何とか終わって,う・ち・あ・げ!
でも,2年の世話人だったので開始から1時間遅れで参加.
そうそう,3年とそして去年卒業の11代目もゲスト参加.
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で,口上と共に飲み会の場でいただいたのが,
若かりし頃(1年半前)の彼らの写真の入ったマグカップ,
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から~の,ど~ん.

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ま,散々,九平次九平次ってゆうてたからね,ゼミ中に.
あざっす!

今年もガッサガッサしてみた

この時期は毎年,担当講義である統計とコンピュータにてガッサガッサする実験をする.
tokidoki.hatenablog.jp

今年で3年目となるこの実験の元ネタは,啓林館のページにあった授業実践だった.
www.shinko-keirin.co.jp

ただし,気をつけないと隣のクラスからうるさいと言われかねない.
(実際,今年は隣で講義をされていた先生が何事かとそっと教室を見に来た.)
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3年目ともなると結構な数の実験になる.一人50回×3年間実験参加者数272=13600回だ.
そうして得られた結果が以下.
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ここまでくると コイン>ピン>キャップ のこの順が入れ替わるなんてことは
とんでもなく低い確率になろう.
実際,10×標準偏差分の幅を取ってやっとコインとピンが入れ替わる可能性が出てくる.
そしてその確率は7.7\times10^{-23}程度だ.
そんな評価ができるのも中心極限定理のおかげなんだが,
やっぱり学生にちっとも伝わらないのがこの現象.
もちろん今年も正方形ダーツボードの実験はしてもらうし,
なかなか軽い動作でシミュレーションできるこの回のEXCEL資料は
我ながら気に入っているのでまた掲載するよ↓
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今年はこれに加えて「上か下か」のランダムウォークもEXCEL上で見せようと思った.
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5本程度,1000ステップ分を描くと↑のようになるが,この程度ではふーんで終わる.
もっと本数を描いてみよう.例えば100本↓
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こうなってくると形,いわゆる放物線がうっすら見えてくるのではなかろうか.
そしてこれらの軌跡は中心0に近いほど密度が高くなっている.
いるのだけどこれが平面では見せられない.
ということで今度は OpenProcessing にて立体的にこれを見せられるようにしてみた↓

上部は密度を立体的に表示し,その足元の影がランダムウォークの軌跡を表している.
因みに,パスの数が5000以下のときのみランダムウォークを表示するようにした.
それ以上の本数になるとヒストグラムと軌跡両方の表示はどうやら重すぎるので.


ところで全く関係ないが,とある事情によりイベントが急遽行われた.
この場を借りて,あざっす!
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動機づけの内在化への挑戦―その後―

2年前に同じようなタイトルでエントリーしたのだけど,
今年度のScratch作品の紹介をここでしておこうと思った.
tokidoki.hatenablog.jp

この数年,何をしても反応が薄くなっていくので
今年度はもうどうなるものかと思ったが,意外にも高度な作品が生まれていた.
最終課題は例によってクローンか配列が使われていればOKの自由題.
それ以前の課題にも素晴らしいものが多くあったのだが,
今回は最終課題のみから抜粋,早速紹介しよう.
おっと,多くがgifアニメだから重いよ.



【数理部門】
256-14final
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小学低学年向けの算数教材.
一桁の引き算について「求残」と「求差」の二通りの考え方で説明している.
地味なんだけどよく見ると細かい様々な配慮がなされていた.

303-14final
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油分け算として知られる算数の問題を試行錯誤できる作品.
コップに入っているジュースの量をどう表現するのかと思ったが,
各量に対するコスチュームを作って対応していた.

【ゲーム部門A―アクション系】
初めにスタンダードではあるのだけど,かなり手をかけたと思われるシューティングゲームから.
272-14final

多彩な敵や弾の軌跡,多数のステージ等々,スタンダードではあるけれど十分に手がかけられていた.

306-14final
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様々な点で高度なプログラミングが成されていた作品.
なにしろ,説明文からして配列に入っているセリフから一文字ずつ表示させていく仕組みとなっていて,
そこだけでも十分な工夫になっている.重力のあるジャンプ系ゲームで進行するのだが,
そしてゲーム自体,自分にはとてもクリアーできない難しさだったのでデモではインチキしまくり.

【ゲーム部門B―謎解き型】
627-14final
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いわゆるパズルを解いて脱出する脱出ゲーム.
謎解きに使われた謎たちもさることながら,
カギ番号の入力方法や若干マルチエンディングになっているところなど,
よく考えられていた.

242-14final
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ミステリー仕立ての謎解きゲーム.
セリフを配列に入れ,登場人物によらないシステマティックなセリフ表示法とか,
プレイ時間が長くなることを配慮した「途中でセーブ」できるシステムとか,
犯人を捕まえるシーンではアクションゲームになったりだとか,
ストーリー性の高い作品となった.

【ゲーム部門C―パズル系】

275-14final
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いわゆるポーカー.実は2ペアを判定してくれない,とか色々不備はあるのだけど,
時間があればきちんと判定できるものになったであろう.
カードを扱うには配列の上で様々な置換計算が必要となる.
幸いコスチューム番号を使えたからこのあたりの発想がしやすかったのだろう.

295-14final
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神経衰弱.ただしコンピュータとの対戦型で,難易度も指定できる.
はて,どうやってコンピュータの難易度を決めたのだろうと見てみると,
どの程度カードを検索させるか,その範囲と確率で決めていた.
なお,カオスモードは一度でも間違えると全部カードが取られてしまう,無理ゲーになっている.

297-14final
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テトリス.Scratchの場合,ブロックの種類だけスプライトを用意しておいて
それを通常通り移動させると思うのだが,これはそういう作りではない.
いわゆる2次元配列のドット絵としてブロックを作り,
配列要素の入れ替えによって移動をする,というものだ.
なるほど,一列揃ったかどうか,こちらのほうが判定しやすいもんね.

294-14final
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ターン制のゲーム.次第に増えるモンスターに対して如何に複数からの攻撃を避けながら攻撃するか,
その移動方法に知恵を使うパズルゲーム.

288-14final
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言わずと知れたパズ◯ラなのだが,これをまさかScratchで作るとは思わなかった.
もちろん毎度色の判定と検索をしているので動作が遅くなるのは仕方ないのだが,
アイディアの地道な組み合わせでこんなものが作れてしまうわけだ.
「俺の知ってるScratchじゃねぇ」感たっぷりの,今年度最も驚いた作品である.