音楽に現れる数論

新年のあいさつ代わりに，昨日作ったあるイラストを紹介．（クリック拡大↓）



紀元前のピタゴラスあたりから明確に12音音階が意識されてきた中で，
なぜDiatonic tone（白鍵のこと）は7音で，しかもあのように選ばれたのか，
についてのおそらく尤もらしい説明図が上記のもの．
そこには，古代の人間が音楽を探究する中で
無意識ながらにも体感的に発見してきた音楽理論に
数論的な性質が見事に反映されているように見える．
実際，7/12は音楽理論で言う完全五度にあたる，
log₂(3/2)の連分数近似の一つだ．


今年度卒のゼミでの大きな収穫の一つは，
こうした数理音楽の諸事実を我々ながらの視点で探究できたことだ．
実際いくつかの数理音楽的現象を数論と音楽の両面で考察でき，
昨年後半期，週一のその時間は楽しみだった．


一方昨夏は，Rotation Dynamicsにおいて時間方向と空間方向の
ある種の対称性を見つけた*1．
そして音楽理論は，log₂(3/2)を通じて，
このRotation Dynamicsと深く結びついている．
おそらくこの時間-空間対称性は，数理音楽理論に反映されているはずで，
きっと音楽家たちはこの事実を経験的に見つけ音楽に利用してきたはずだ．
本年は，この辺りの事情をもう一歩探りたい．


幸い来年度卒のゼミ生にも数理音楽に興味を持った学生がいる．
その昔オイラーが言い出したTonnetzの話に興味を持ったらしい．
現在はD. Tymoczkoがその理論を推し進めている．
また議論ができることが楽しみだ．

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

Foundations of Diatonic Theory: A Mathematically Based Approach to Music Fundamentals

*1:Spatio-temporal symmetry on circle rotations and a notion on diatonic set theory,
to appeare in Bull. of Aichi Univ. of Education, Natural Science 63, 2014.