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四度堆積からの誘い(1)

その昔,Debussyが音楽院の学生だった頃,
完全四度を積み重ねた和声による音楽をまだ誰も作っていないことにあるとき気付き,
とても喜んだ,という逸話を何かで読んだ気がする.
この四度堆積和音という視点はそれ以後,
たくさんの音楽家たちによって試みられ,様々に発展してきた.

私自身ここにきて改めて,四度堆積という見方が気になり始めた.
というのも,それ以上音を付け加えると壊れてしまう気がするという意味で完全な和音,
トリスタン和音が四度堆積和音の派生物とも捉えられることに気付いたからだった.
トリスタン和音 - Wikipedia
ついでにこの四度堆積和音の他の派生物も色々弾き試してみると,
Jazzyな和音が次々に現れてくる.おやおや.

そんなことを大学に通勤する前の毎朝数十分,ピアノ練習の中であれこれやっているうちに,
この四度堆積,あるいは一般にn-semitone堆積という視点で
数理音楽を展開するのはどうだろう,と安直に思ったわけだ.
(そんなことは既に大勢の人がやってきたことだけど.)
一度古典的な三度堆積の音楽世界から離れたら,
無理に分数コードなんてこと考えなくても済むんじゃないか,なんてね.

この3月で卒業するゼミ生の卒論の一つTymoczkoによる「和音の幾何学」だった.
多声部の教会音楽が作られるようになって以来,
いかにして心地良く和声をつなげるか,つまりスムーズなvoice leadingをどう見つけるか,
といったことは現実的な問題として必要だった.
Tymoczkoが試みていることは和音を「上手く」空間配置し,
和音間の距離,あるいは位相を考えることで
効率良くスムーズなvoice leadingを探す,という提案だった.
もっともこの和音の幾何学化,古くはオイラーにまで遡るのだけど.
(そしてそこで提案されたTonnetzというアイディアは,
何と高校「数学活用」の教科書にも載っているんだ!)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

例えば3つの音からなるあらゆる和音(非和声和音も)全てを空間に配置しよう.
1オクターブは12半音あって,オクターブ違いの音は同一とみなすなら,
Z/12Z で音たちを捉えることになる.
したがって3音和音(triad)はこの3組(Z/12Z)3,あるいは(R/12Z)3の点として表される.
するとまたtriadの転回形も全て同一と見做すから,この3組は順に依らない,
つまり (R/12Z)3/S3 の点として捉えられる.

ここでTymoczkoは12半音を3等分するC,E,G#を断面とする座標系をとってtriadを配置した.
例えばtriad CEG#は△CEG#の重心に取る.
triadを構成する3音の第1,2,3音を半音上げるベクトルをa1,a2,a3とする.
例えばCEG#+a1=C#EG#,CEG#+a2=CFG#,CEG#+a3=CEAといった具合だ.
ところがこのベクトルたちを注意深くとっておくと
triadを構成する3音が張る平面上にそのtriadがあるようにできる.
例えばtriad CEAは平面CEA上にある,といった具合に.
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これがたまたま3音だからというわけではなく,一般にn音和音でも(R/12Z)n/Snの上で可能だ,
ということが上記の卒論で示されている.卒論はしかし配置までで実質終わっているが,
この図を見ていると色々と音楽的現象が説明されるようで面白い.

ところで四度堆積はどこいった,ということなんだが,
Tymoczkoは(おそらく)12半音を等分するという意味でCEG#-断面で座標系をとった.
しかしJazzyな響きなどはオクターブに収めて説明できるようなものじゃない.
だからZ/12Zより拡げよう,そうすると断面はもっと自由になる.
トリスタン和音を捉えたい,ならば4音和音を考えよう.
そしてトリスタンは四度堆積からの派生だ,ならば断面を四度4つで始めよう.
つまり,CFB♭E♭-断面からだ.因みにトリスタンはこの第2音を半音上げたものだ.
そしてあらゆる4音和音はそれを構成する4音が張る超平面上にあるように
生成ベクトルを調節できる.

ところで自分が本当に捉えたいのは和音の色彩感.
その入り口となる研究が音楽心理学の観点からCook氏らによって行われている.
例えば和音の緊張度といった概念が挙げられている.
和音を構成する音の隣接間隔が同じであるほど人は緊張感を感じる,
という心理実験に基づいて倍音まで考慮して和音の緊張度計算モデルを提示している.
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↑卒論から.
因みにTymoczkoの断面CEG#は三度堆積和音だから緊張度が高い.
(しかも3度=4半音なので12の約数だから倍音を考慮しても緊張度が下がらない.)
四度堆積CFB♭E♭-断面も同様に緊張度が高い.
そして空間配置はこの高緊張度和音を中心軸にして配置されることになる.
これは何を意味するのだろうか?

あるいはモダリティー.いわゆる和音の明暗のモデルも提案されている.
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↑卒論から.
このモデルに従えば,等間隔和音は中性的ということになる.
(完全四度=5半音は12と互いに素だから,倍音まで考慮すると
四度堆積CFB♭E♭-断面はどっちかに傾いてるかもしれないが.)

そんなこんなで四度堆積,一般にn度堆積和音からの音楽解釈は
数理音楽的に面白いんじゃないかと思い始めた次第.

因みに卒論で使った図はBASICで.ついでに倍音の影響がどのように反映するか
その様子を例えば緊張度についてこんな感じ,と以下に貼っておく.

↓純音のみ
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↓2倍音まで考慮
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↓3倍音まで考慮
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↓5倍音まで考慮
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