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The Sieve of Moebius

二次関数y=x2を描く.
で,あらゆる整数p,qの組合せに対し,P(p,p2)とQ(q,q2)を結ぶ.
するとy軸上でこれら線分が通った点を消していくと,素数だけが生き残る.

一見不思議なんだけど,実は線分PQのy切片はいつもpqになることに由来している.
紀元前からエラトステネスの篩として素数をだけ残す篩が知られていたが,
19世紀にメビウスは放物線上の整数点から篩ってみたわけだ.
生徒が二次関数の学習をしたときの,ちょっとした小ネタにできそうな話題.
れいの「教科学」のネタ...

楕円曲線を始めとする代数多様体上の有理点は数論幾何の主対象なんだが,
実は二次曲線であっても色々と面白いことが起こる.
円上の有理点はピタゴラス数全てに対応するが,
これらを制御する力学系が独立に多くの人によって発見されてきた.
その辺りの話はたとえば↓に.

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

で,このメビウスの篩の元ネタは
ありとあらゆる方面に長年にわたり精力的な研究を続けていらっしゃる,
本業は数学者ではない,佐藤 郁郎氏のページから.
メビウスのふるい
がんセンターに勤めながら,この膨大な数学コラムの山.

おもしろそうだったからBASICで作ってみた.
↓クリックで拡大

REM
REM [Moebius sieve]
REM Ver. 2015/05/02
REM

INPUT  PROMPT "maximal number":maxN
LET maxX=INT(SQR(maxN))
DIM pr(2 TO maxN)
FOR k=2 TO maxX
   FOR l=2 TO INT(maxN/k)
      LET pr(k*l)=1
   NEXT l
NEXT k
SET WINDOW -maxX*1.05,maxX*1.05,-maxN*.05,maxN*1.05
DRAW axes(INT(maxX*.1),INT(maxN*.1))
SET LINE COLOR 2
FOR x=-maxX TO maxX
   PLOT LINES: x,x^2;
NEXT x
PLOT LINES
SET LINE COLOR 3
FOR j=-2 TO -maxX STEP -1
   FOR i=-j TO INT(-maxN/j)
      PLOT LINES: j,j^2; i,i^2
   NEXT i
NEXT j
DRAW axes(INT(maxX*.1),INT(maxN*.1))
SET POINT COLOR 4
SET POINT STYLE 4
FOR k=2 TO maxN
   IF pr(k)=0 THEN PLOT POINTS: 0,k
NEXT k
END