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こんなところに Cayley-Hamilton

4年ゼミの話題の一つが,細矢氏が提案するトポロジカルインデックスなんだが,

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

その中にちょっと「おやっ」となった計算があったので,その紹介と種明かし.

ピタゴラス数を生成する行列にまつわる連立漸化式
\[
\begin{pmatrix}
a_{n+1}\\
b_{n+1}\\
c_{n+1}
\end{pmatrix}
=
A\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2\\
2 & 1 & 2\\
2 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}
\]から一種類の文字に関する漸化式
\[
a_{n+3}=5a_{n+2}+5a_{n+1}-a_n
\]等を導く件.本書では
\[
\sigma a_n=a_{n+1}
\]なる線形作用素を持ち出して
\[
\sigma\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix},
\]すなわち
\[
(\sigma I-A)
\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}
=\textbf{0}
\](Iは単位行列)がnontrivialな解をもつことから
\[
\det(\sigma I-A)=\sigma^3-5\sigma^2-5\sigma+1=0
\]が導かれるので
\[
(\sigma^3-5\sigma^2-5\sigma+1)a_n=a_{n+3}-5a_{n+2}-5a_{n+1}+a_n=0
\]なる漸化式が得られる,とある.
作用素\sigmaをあたかも数のように扱って議論しているわけだ.
はて,こんな扱いかた,妥当なんだろうか???



数日悩んだけど,何だか分かったので備忘録.
線形代数でいうところのCayley-Hamiltonの定理の証明を真似をすれば良い.
その証明は特性多項式を
\[
p(\lambda)=\det(\lambda I-A)
\]とし,(\lambda I-A)の余因子行列を\tilde{A}(\lambda)とおけば
\[
\tilde{A}(\lambda)(\lambda I-A)=p(\lambda)I
\]となるところから始まる.
さて,この両辺はともに\lambdaの多項式を成分とする行列なので,\lambdaへ作用素\sigmaを代入しても大丈夫.
すると
\[
p(\sigma)\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}
=\tilde{A}(\sigma)(\sigma I-A)
\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}
=\textbf{0}
\]となって,確かに作用素としての等式
\[
p(\sigma)=\det(\sigma I-A)=0
\]が得られる.なるほどね.
因みにa_n,b_nは役割が対称なので新たにd_n=a_n+b_nとおけば,
\[
\begin{pmatrix}
d_{n+1}\\
c_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 4\\
2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d_n\\
c_n
\end{pmatrix}
\]と書けるので,今度は
\[
\begin{vmatrix}
3-\sigma & 4\\
2 & 3-\sigma
\end{vmatrix}
=\sigma^2-6\sigma+1=0,
\]すなわち
\[
(\sigma^2-6\sigma+1)c_n=c_{n+2}-6c_{n+1}+c_n=0
\]なる漸化式が得られる.