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k倍完全数探しのためのちょっとした評価

自然数Nに対しその約数の和をS(N)と表すとき,S(N)=kNとなるNをk倍完全数という.
k=2のときがいわゆる完全数というやつだ.例えば

 6×2=1+2+3+6,28×2=1+2+4+7+14+28.

2倍完全数についてはオイラーによって偶数の完全数の形が分かっているのに対し,
奇数の2倍完全数についてはその有無すら未解決の問題となっている.

自分が顧問をしている数学同人Sigmaは,このところk倍完全数探しをしている.
そもそもはk≧3に対するk倍完全数の表示式はないものだろうか,
という問いから始まったことだ.
(ネットで探せば何らかの結果が得られるだろうが,
 それをしたらSigmaの活動の意味が無い.)

手計算や計算機片手に探していく.100万までなら,
 2倍:6,28,496,8128
 3倍:120,672(因みに今年2016は2番目の3倍完全数の約数和だそうだ.2016=672×3)
 4倍:30240,32760
が見つかる.
4倍完全数までは10進BASICですぐに見つかるのだが,5倍からが見つからない.
少なくとも100万までには無かった.
こうして各自がそれぞれのアプローチをしているわけだが,
自分もひとつ絡んでみようと,通勤の運転中にぼや~っと考えてみた.
で,素朴なんだがちょっと面白い評価ができたので紹介.
まぁ,どこかでは知られてはいるんだろうけど.

これを使えば,例えば5倍完全数ならば13以上の素数を因数に含んでいなければならない,
といった評価ができる.
もう一つ,ある程度の大きさのkに対する奇数のk倍完全数があるとすれば,
かなり大きな素因数を,それもかなり多数の素因数を含んでいなければならない,
といったことも覗わせてくれる.
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