自然数Nに対しその約数の和をS(N)と表すとき，S(N)=kNとなるNをk倍完全数という．
k=2のときがいわゆる完全数というやつだ．例えば
6×2=1+2+3+6，28×2=1+2+4+7+14+28．
2倍完全数についてはオイラーによって偶数の完全数の形が分かっているのに対し，
奇数の2倍完全数についてはその有無すら未解決の問題となっている．
自分が顧問をしている数学同人Sigmaは，このところk倍完全数探しをしている．
そもそもはk≧3に対するk倍完全数の表示式はないものだろうか，
という問いから始まったことだ．
（ネットで探せば何らかの結果が得られるだろうが，
それをしたらSigmaの活動の意味が無い．）
手計算や計算機片手に探していく．100万までなら，
2倍：6,28,496,8128
3倍：120,672（因みに今年2016は2番目の3倍完全数の約数和だそうだ．2016=672×3）
4倍：30240,32760
が見つかる．
4倍完全数までは10進BASICですぐに見つかるのだが，5倍からが見つからない．
少なくとも100万までには無かった．
こうして各自がそれぞれのアプローチをしているわけだが，
自分もひとつ絡んでみようと，通勤の運転中にぼや～っと考えてみた．
で，素朴なんだがちょっと面白い評価ができたので紹介．
まぁ，どこかでは知られてはいるんだろうけど．
これを使えば，例えば5倍完全数ならば13以上の素数を因数に含んでいなければならない，
といった評価ができる．
もう一つ，ある程度の大きさのkに対する奇数のk倍完全数があるとすれば，
かなり大きな素因数を，それもかなり多数の素因数を含んでいなければならない，
といったことも覗わせてくれる．
