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算数事始め(2)

シリーズにするつもりはなかったんだけど,また虱潰しに調べてみたので,報告.
tokidoki.hatenablog.jp

算数科研究ネタ探しを続けているが,調べるとこんな算数活動もあるらしい.

 □□+□□=□□
1,2,3,4,5,7全てを□に当てはめて,正しい式にしましょう.
(小学2年生向け)

ちょっと考えると例えば
 12+35=47
なんて出るわけだが,こういった繰り上がりのないパターンは桁の入れ替えが自由にできるので

\begin{gather*}
 12+35=47, 15+32=47, 32+15=47, 35+12=47,\\
 21+53=74, 23+51=74, 51+23=74, 53+21=74
\end{gather*}

2^3パターンが生まれる.そしてこれ以外には無さそうだ.

さて,こうなると他の6つの数で試すとどうなるか,が気になってくる(でしょ?).
探すと繰り上がりが有るパターンもある.例えば 1,2,3,4,5,8に変えると,

\begin{gather*}
14+38=52, 18+34=52, 34+18=52, 38+14=52,\\
15+28=43, 18+25=43, 25+18=43, 28+15=43
\end{gather*}

という具合で,今度は単なる入れ替えでない.というのも1の位での繰り上がりは許されるが,それをこのゲームのルール上10の位に持ってくるわけに行かないからだ.それでもそれを補完するように別の組み合わせで合計8パターンとなる.
ところが同じ繰り上がりが発生していても補完パターンが無いものも有る.例えば1,2,3,4,6,9だ.

\begin{gather*}
13+49=62,19+43=62,43+19=62,49+13=62
\end{gather*}

その一方で,12パターンある組み合わせもある.1,2,4,5,7,8を選ぶと,

\begin{gather*}
17+28=45, 18+27=45, 27+18=45, 28+17=45,\\
14+58=72, 18+54=72, 54+18=72, 58+14=72,\\
24+57=81, 27+54=81, 54+27=81, 57+24=81
\end{gather*}

となる.ところが,反対に全く何も作れない組み合わせもある.それが結構ある.
たとえば,1,2,3,4,5,6や1,2,3,5,6,8などなど.

さて,これをチマチマ探したのかというと,ご想像の通り,また10進BASICで先回りして調べた.
結果一覧が以下.要するに1から9の中から3つを選ばないので全部で{}_9C_3=84通りの数の組み合わせを全部調べれば良い.
先頭の(123456)などが使用する6つの数,その後は実際の解.

【パターン数=0 】つまり解が無いもの.28個.
\begin{align*}
&(456789),(356789),(345789),(345679),(345678),(246789),(245789),(245678),\\
&(234789),(234689),(234679),(234579),(234567),(156789),(135689),(134679),\\
&(134678),(134589),(134578),(126789),(125689),(124589),(123789),(123679),\\
&(123678),(123569),(123568),(123456).
\end{align*}

【パターン数=4】14個.
\begin{gather*}
(346789):37+49=86, 39+47=86, 47+39=86, 49+37=86,\\
(245679):26+49=75, 29+46=75, 46+29=75, 49+26=75,\\
(236789):28+39=67, 29+38=67, 38+29=67, 39+28=67,\\
(235689):25+68=93, 28+65=93, 65+28=93, 68+25=93,\\
(234569):25+39=64, 29+35=64, 35+29=64, 39+25=64,\\
(145689):15+69=84, 19+65=84, 65+19=84, 69+15=84,\\
(135679):17+39=56, 19+37=56, 37+19=56, 39+17=56,\\
(134689):14+69=83, 19+64=83, 64+19=83, 69+14=83,\\
(125678):15+67=82, 17+65=82, 65+17=82, 67+15=82,\\
(124569):16+29=45, 19+26=45, 26+19=45, 29+16=45,\\
(123579):13+59=72, 19+53=72, 53+19=72, 59+13=72,\\
(123489):32+49=81, 39+42=81, 42+39=81, 49+32=81,\\
(123478):23+48=71, 28+43=71, 43+28=71, 48+23=71,\\
(123469):13+49=62, 19+43=62, 43+19=62, 49+13=62.
\end{gather*}

【パターン数=8】40個.
\begin{align*}
(345689):&36+49=85, 36+58=94, 38+56=94, 39+46=85, \\
&46+39=85, 49+36=85, 56+38=94, 58+36=94,\\
(256789):&27+59=86, 27+68=95, 28+67=95, 29+57=86, \\
&57+29=86, 59+27=86, 67+28=95, 68+27=95,\\
(245689):&24+65=89, 25+64=89, 42+56=98, 46+52=98, \\
&52+46=98, 56+42=98, 64+25=89, 65+24=89,\\
(235789):&23+75=98, 25+73=98, 32+57=89, 37+52=89, \\
&52+37=89, 57+32=89, 73+25=98, 75+23=98,\\
(235679):&23+56=79, 26+53=79, 32+65=97, 35+62=97, \\
&53+26=79, 56+23=79, 62+35=97, 65+32=97,\\
(235678):&26+57=83, 27+38=65, 27+56=83, 28+37=65, \\
&37+28=65, 38+27=65, 56+27=83, 57+26=83,\\
(234678):&23+64=87, 24+63=87, 32+46=78, 36+42=78, \\
&42+36=78, 46+32=78, 63+24=87, 64+23=87,\\
(234589):&24+59=83, 29+54=83, 34+58=92, 38+54=92, \\
&54+29=83, 54+38=92, 58+34=92, 59+24=83,\\
(234578):&25+48=73, 28+45=73, 35+47=82, 37+45=82,\\
&45+28=73, 45+37=82, 47+35=82, 48+25=73,\\
(234568):&23+45=68, 25+43=68, 32+54=86, 34+52=86,\\
&43+25=68, 45+23=68, 52+34=86, 54+32=86,\\
(146789):&16+78=94, 18+49=67, 18+76=94, 19+48=67, \\
&48+19=67, 49+18=67, 76+18=94, 78+16=94,\\
(145789):&14+75=89, 15+74=89, 41+57=98, 47+51=98, \\
&51+47=98, 57+41=98, 74+15=89, 75+14=89,\\
(145679):&14+65=79, 15+64=79, 41+56=97, 46+51=97, \\
&51+46=97, 56+41=97, 64+15=79, 65+14=79,\\
(145678):&16+58=74, 17+48=65, 18+47=65, 18+56=74, \\
&47+18=65, 48+17=65, 56+18=74, 58+16=74,\\
(136789):&13+76=89, 16+73=89, 31+67=98, 37+61=98, \\
&61+37=98, 67+31=98, 73+16=89, 76+13=89,\\
(135789):&15+78=93, 18+39=57, 18+75=93, 19+38=57,\\
&38+19=57, 39+18=57, 75+18=93, 78+15=93,\\
(135678):&13+65=78, 15+63=78, 31+56=87, 36+51=87, \\
&51+36=87, 56+31=87, 63+15=78, 65+13=78,\\
(134789):&13+84=97, 14+83=97, 31+48=79, 38+41=79, \\
&41+38=79, 48+31=79, 83+14=97, 84+13=97,\\
(134579):&14+59=73, 19+54=73, 34+57=91, 37+54=91,\\
&54+19=73, 54+37=91, 57+34=91, 59+14=73,\\
(134569):&13+46=59, 16+43=59, 31+64=95, 34+61=95, \\
&43+16=59, 46+13=59, 61+34=95, 64+31=95,\\
(134567):&13+54=67, 14+53=67, 31+45=76, 35+41=76, \\
&41+35=76, 45+31=76, 53+14=67, 54+13=67,\\
(125789):&12+85=97, 15+82=97, 21+58=79, 28+51=79, \\
&51+28=79, 58+21=79, 82+15=97, 85+12=97,\\
(125679):&12+57=69, 17+52=69, 21+75=96, 25+71=96, \\
&52+17=69, 57+12=69, 71+25=96, 75+21=96,\\
(124789):&14+78=92, 18+29=47, 18+74=92, 19+28=47, \\
&28+19=47, 29+18=47, 74+18=92, 78+14=92,\\
(124689):&12+84=96, 14+82=96, 21+48=69, 28+41=69, \\
&41+28=69, 48+21=69, 82+14=96, 84+12=96,\\
(124679):&17+29=46, 19+27=46, 24+67=91, 27+19=46, \\
&27+64=91, 29+17=46, 64+27=91, 67+24=91,\\
(124678):&12+74=86, 14+72=86, 21+47=68, 27+41=68,\\
&41+27=68, 47+21=68, 72+14=86, 74+12=86,\\
(124579):&12+47=59, 17+42=59, 21+74=95, 24+71=95, \\
&42+17=59, 47+12=59, 71+24=95, 74+21=95,\\
(124568):&12+46=58, 16+42=58, 21+64=85, 24+61=85, \\
&42+16=58, 46+12=58, 61+24=85, 64+21=85,\\
(124567):&15+47=62, 17+45=62, 25+46=71, 26+45=71, \\
&45+17=62, 45+26=71, 46+25=71, 47+15=62,\\
(123689):&13+69=82, 19+63=82, 23+68=91, 28+63=91,\\
&63+19=82, 63+28=91, 68+23=91, 69+13=82,\\
(123589):&12+83=95, 13+82=95, 21+38=59, 28+31=59, \\
&31+28=59, 38+21=59, 82+13=95, 83+12=95,\\
(123578):&12+73=85, 13+72=85, 21+37=58, 27+31=58,\\
&31+27=58, 37+21=58, 72+13=85, 73+12=85,\\
(123567):&12+63=75, 13+62=75, 21+36=57, 26+31=57, \\
&31+26=57, 36+21=57, 62+13=75, 63+12=75,\\
(123479):&12+37=49, 17+32=49, 21+73=94, 23+71=94, \\
&32+17=49, 37+12=49, 71+23=94, 73+21=94,\\
(123468):&12+36=48, 16+32=48, 21+63=84, 23+61=84, \\
&32+16=48, 36+12=48, 61+23=84, 63+21=84,\\
(123467):&16+27=43, 17+26=43, 24+37=61, 26+17=43, \\
&27+16=43, 27+34=61, 34+27=61, 37+24=61,\\
(123459):&14+25=39, 15+24=39, 24+15=39, 25+14=39, \\
&41+52=93, 42+51=93, 51+42=93, 52+41=93,\\
(123458):&14+38=52, 15+28=43, 18+25=43, 18+34=52, \\
&25+18=43, 28+15=43, 34+18=52, 38+14=52,\\
(123457):&12+35=47, 15+32=47, 21+53=74, 23+51=74,\\
 &32+15=47, 35+12=47, 51+23=74, 53+21=74.
\end{align*}

【パターン数=12】2個.
\begin{align*}
(134568):&15+48=63, 16+38=54, 18+36=54, 18+45=63,\\
&35+46=81, 36+18=54, 36+45=81, 38+16=54,\\
&45+18=63, 45+36=81, 46+35=81, 48+15=63,\\
(124578):&14+58=72, 17+28=45, 18+27=45, 18+54=72,\\
&24+57=81, 27+18=45, 27+54=81, 28+17=45,\\
&54+18=72, 54+27=81, 57+24=81, 58+14=72.
\end{align*}

まぁ,まずはとにかくやってみることだ.

おっと,また整理されてないBASICソースを.

REM
REM [算数科研究ネタ]
REM 「6つの数で二桁足し算□□+□□=□□を作る」
REM Ver. 2019/01/04
REM

LET nums$="123456789"
FOR p=1 TO 9
   LET X$=nums$
   LET X$(p:p)=""
   FOR q=1 TO 8
      LET X0$=X$
      LET X0$(q:q)=""
      FOR r=1 TO 7
         LET X1$=X0$
         LET X1$(r:r)=""
         PRINT "For [";X1$;"]"
         LET LL=LEN(X1$)
         FOR i=1 TO LL
            LET D2$=X1$(i:i)
            LET X2$=X1$
            LET X2$(i:i)=""
            FOR j=1 TO LL-1
               LET D1$=X2$(j:j)
               LET X3$=X2$
               LET X3$(j:j)=""
               LET a=VAL(D2$&D1$)
               FOR k=1 TO LL-2
                  LET D4$=X3$(k:k)
                  LET X4$=X3$
                  LET X4$(k:k)=""
                  FOR l=1 TO LL-3
                     LET D3$=X4$(l:l)
                     LET X5$=X4$
                     LET X5$(l:l)=""
                     LET b=VAL(D4$&D3$)
                     IF a+b=VAL(X5$) THEN
                        PRINT USING"##+##=##":a,b,VAL(X5$)
                     ELSE
                        LET X5$=X5$(2:2)&X5$(1:1)
                        IF a+b=VAL(X5$) THEN
                           PRINT USING"##+##=##":a,b,VAL(X5$)
                        END if
                     END if
                  NEXT l
               NEXT k
            NEXT j
         NEXT i
         PRINT "-----------------------"
      NEXT r
   NEXT q
NEXT p
END

本当はすごい小学算数

本当はすごい小学算数

算数事始め

年末からどうも体の具合がおかしく,卒論の手直しが思うように進まない.
背中がゾクゾクするし風邪かと思うのだが,どうも花粉症的な症状に近い.
そういえばこのところ毎年正月前後に体の調子が悪くなる.
ようやく一息つけると,気持ちが油断するのかもしれない.

おまけに今年に限っては算数科研究ネタを急ピッチで作り上げねばならず,結構ピンチ.
で,年末に手に入れたネタ本が結構使えそう.
名門中学の算数入試問題をもとに数学とはなんぞや,を説いてくれる本だ.

本当はすごい小学算数

本当はすごい小学算数

何しろトビラの問題からして使えそうだったんで早速Amazonでポチった.

その第一章はとにかくやってみなはれ,という内容.
第1章「考える力」よりも大事な「やってみる力」
うん,もうこの15年ほど手の動かない学生を見ていていつも思うことだ.
つべこべ言わず,まずあれこれやってみなはれ,だ.
ついでにいうと,数学なんて本当は最初から授業やテキストで学ぶものなんかじゃない,あれこれやってみての「どうして」がそもそも無いと,お経を唱えるのとさして変わらない,と思う.

で,何はともあれ算数科研究ネタ作成に脅されながら,初めの問題をみる.

1□2□3□4□5=2□3□4□5□6
の□には×か+が入ります.
この式が正しくなるような×と+の入れ方を2通り見つけなさい.
(2008年 麻布中学入試)

さて,こういう問題,下手に数学慣れしていると何か一般法則を見つけようとしてかえって手が動かなくなるかもしれない.
けれど,これは小学生の問題,とにかくあれこれやって探せ,という単純な問題と思ったほうが早く答えが見るかる.

いや,学生にやらせる前にまず自分で探さなきゃ,なのだけど,もう頭がぐぁんぐぁん,背中もゾクゾクの状態なので,一つ答えを見つけたところで10進BASICに解かせることにした.
ズルい,の極みである.
もちろんついでなので問題を

連続する1,2,...,nと2,3,...,n+1の間に×か+を入れて成り立つ等式を探す.

にして,ただし,n<9,つまり一桁の数で収まるように限定して作ることにした.

まず
1□2=2□3と1□2□3=2□3□4
には解がなかった.

1□2□3□4=2□3□4□5
の解は
\begin{align*}
5&=1+2+3\times4=2\times3+4+5\\
14&=1\times2+3\times4=2+3+4+5\\
25&=1+2\times3\times4=2+3+4\times5
\end{align*}
の3つ.

1□2□3□4□5=2□3□4□5□6
の解は
\begin{align*}
20&=1+2+3\times4+5=2+3+4+5+6\\
25&=1\times2+3+4\times5=2+3\times4+5+6
\end{align*}
の2つ.

1□2□3□4□5□6=2□3□4□5□6□7
の解は
\begin{align*}
32&=1+2+3+4\times5+6=2+3\times4+5+6+7\\
32&=1\times2\times3+4\times5+6=2+3\times4+5+6+7\\
68&=1\times2+3\times4\times5+6=2\times3+4\times5+6\times7\\
39&=1\times2+3+4+5\times6=2\times3+4\times5+6+7
\end{align*}
の4つ.

1□2□3□4□5□6□7=2□3□4□5□6□7□8
の解は
\begin{align*}
40&=1+2\times3+4\times5+6+7=2+3\times4+5+6+7+8\\
76&=1+2+3\times4\times5+6+7=2\times3+4\times5+6\times7+8\\
76&=1+2+3\times4\times5+6+7=2+3+4+5+6+7\times8\\
75&=1\times2+3\times4\times5+6+7=2+3+4\times5+6\times7+8\\
47&=1+2+3+4+5\times6+7=2\times3+4\times5+6+7+8\\
46&=1\times2+3+4+5\times6+7=2+3+4\times5+6+7+8\\
47&=1\times2\times3+4+5\times6+7=2\times3+4\times5+6+7+8\\
69&=1+2\times3+4\times5+6\times7=2\times3\times4+5\times6+7+8\\
69&=1+2\times3+4\times5+6\times7=2+3\times4+5+6\times7+8
\end{align*}
の9つ.

そして
1□2□3□4□5□6□7□8=2□3□4□5□6□7□8□9
の解は19個らしい.
\begin{align*}
84&=1+2+3\times4\times5+6+7+8=2+3+4\times5+6\times7+8+9\\
55&=1+2+3+4+5\times6+7+8=2+3+4\times5+6+7+8+9\\
56&=1+2\times3+4+5\times6+7+8=2\times3+4\times5+6+7+8+9\\
55&=1\times2\times3+4+5\times6+7+8=2+3+4\times5+6+7+8+9\\
59&=1\times2+3\times4+5\times6+7+8=2\times3\times4+5+6+7+8+9\\
140&=1\times2+3+4\times5\times6+7+8=2\times3+4\times5+6\times7+8\times9\\
64&=1\times2+3+4+5+6\times7+8=2\times3+4+5\times6+7+8+9\\
78&=1+2\times3+4+5+6+7\times8=2\times3\times4+5\times6+7+8+9\\
78&=1+2\times3+4+5+6+7\times8=2+3\times4+5+6\times7+8+9\\
92&=1+2\times3\times4+5+6+7\times8=2+3\times4\times5+6+7+8+9\\
88&=1+2+3+4\times5+6+7\times8=2\times3\times4+5+6\times7+8+9\\
88&=1\times2\times3+4\times5+6+7\times8=2\times3\times4+5+6\times7+8+9\\
96&=1+2+3+4+5\times6+7\times8=2+3+4\times5+6+7\times8+9\\
97&=1+2\times3+4+5\times6+7\times8=2\times3+4\times5+6+7\times8+9\\
96&=1\times2\times3+4+5\times6+7\times8=2+3+4\times5+6+7\times8+9\\
100&=1\times2+3\times4+5\times6+7\times8=2\times3\times4+5+6+7\times8+9\\
100&=1\times2+3\times4+5\times6+7\times8=2\times3+4+5+6+7+8\times9\\
111&=1+2\times3\times4+5\times6+7\times8=2\times3+4\times5+6+7+8\times9\\
110&=1\times2\times3\times4+5\times6+7\times8=2+3+4\times5+6+7+8\times9
\end{align*}

最後に10進BAISCのソース.
行き当たりばったりで作ったので汎用性ゼロ.
そしてこういうのを作ってるときは頭が痛くない.

LET lim=5
INPUT  PROMPT "いくつの数で?(1,2,...,nと2,3,...,n+1)":lim

FOR k=0 TO 2^(lim-1)-1
   LET aa$="1"
   FOR i=0 TO lim-2
      IF bitand(k,2^i)<>0 THEN
         LET aa$=aa$&"*"&STR$(i+2)
      ELSE
         LET aa$=aa$&"+"&STR$(i+2)
      END IF
   NEXT i
   FOR l=0 TO 2^(lim-1)-1
      LET bb$="2"
      FOR i=0 TO lim-2
         IF bitand(l,2^i)<>0 THEN
            LET bb$=bb$&"*"&STR$(i+3)
         ELSE
            LET bb$=bb$&"+"&STR$(i+3)
         END IF
      NEXT i
      LET aa=calc(aa$)
      LET bb=calc(bb$)
      IF aa=bb THEN PRINT STR$(aa)&"="&aa$&"="&bb$
   NEXT l
NEXT k
FUNCTION calc(x$)
   DIM p$(1 TO 10)
   FOR i=1 TO 10
      LET p$(i)=""
   NEXT i
   LET pp=1
   LET i=2
   LET j=1
   DO
      IF X$(i:i)="+" THEN
         LET p$(pp)=X$(j:i-1)
         LET pp=pp+1
         LET j=i+1
      END IF
      LET i=i+1
   LOOP UNTIL i>LEN(X$)
   LET p$(pp)=X$(j:i-1)
   LET pp=1
   LET ans=0
   DO UNTIL P$(pp)=""
      LET Y$=P$(pp)
      LET Z=1
      DO
         LET z=z*VAL(Y$(1:1))
         LET Y$(1:2)=""
      LOOP UNTIL Y$=""
      LET ans=ans+z
      LET pp=pp+1
   LOOP 
   LET calc = ans
END FUNCTION
END

Factorization!

久しぶりにScratch作品紹介.
素因数分解をビジュアルに表現するってのがその筋の人たちのちょっとしたブームになったことがあった.
始まりはここかな↓
mathlesstraveled.com
JavaScriptでアニメーションしてるのが例えば↓
Animated Factorization Diagrams – Data Pointed

で,そういう感じのが作りたくなってScratchで作った↓
このgifアニメーションでは300までだけど,実際にはいくらでも進む.
f:id:okiraku894:20181214233924g:plain
普通の素因数分解とはちょっと変えて2ベキは4ベキ部分と2に分けておくほうがビジュアル的には面白くなる.

そしてScratch本体はこちら↓(多分実行画面にはならないけど)

算数で起こった天下三分の計ーその後

「0は3の倍数か」で天下三分の計が起こったことを前回報告した.
tokidoki.hatenablog.jp

今回はその後ちょっと調べてみたら,あの結果は妥当なものなんだろうなぁ,という結論に至ったので追記.
そもそも算数の教科書ではどう書いてあるのだろうか,とちょいと調べてみた.
例えば啓林館ではこんなふうだった.
f:id:okiraku894:20181117150057p:plain
何と,そうだったのか!
そうであれば「どちらとも言えない」が4割だったのも頷ける.
教科書では「0は倍数に含めない『ことにする』」としているから,それを覚えていたなら3の倍数ではないと積極的に言うだろうし,しかし後の教育を受けた中での考え方を思い出せば0=0\times 3なのだから0はやはり3の倍数だとも言うだろう.
そしてどちらの立場も認めるなら「どちらでもない」ということになる(むしろ「どちらでもある」).
じゃぁ,偶数奇数はどうしているのか,と調べると例えば同じく啓林館ではこんな書きぶりだった.
f:id:okiraku894:20181117150053p:plain
おやおや,こちらでは確かに0が偶数となっている.
つまり,2で割った余りで自然数(小学校では整数と言っている)を分類するという立場だ.
さて,そうするとだ.ここまでをまとめるとこうなる.
「0は2で割り切れるから偶数と呼ぶけど,0は倍数とは呼ばないことにしたので0は2の倍数ではない.」

おや,まぁ!
何ということだろうと思い,学習指導要領解説を引っ張り出してみると,確かにそのようになっている.
f:id:okiraku894:20181117150048p:plain
「(このとき0は倍数に含めていない)」

昔の自分だったら,世間でよく騒がれているのに同調して「間違ったことを教えている!」と言って憤慨したことだろう.
けれども「どのように子どもたちが混乱するのか」という情報が蓄えられるに連れ,そう安易に物が言えるものでもないことが分かってきた.
数学的に間違っている,いや美しくはない定義であったとしても,こういった配慮は教育的には,あるいは子供の認知心理学的には妥当らしい,ということだ.
「倍数」というときの気持ちは何かの「整数倍」を意味している.しかも通常は「1以上の整数」となるのが自然な言葉遣いだろう.
もしかすると「1倍」ですら一拍おいて考える人もいるだろう.
つまりそういった風景においては「倍数」は元の数以上の大きさになるものということになる.
そんな風景の中で「0も倍数である」と叫ばれれば,子供の心に大きな混乱が起こるかもしれない.
まだ「何倍」という見方が定着する前の子供ならなおさらの事だろう.
「-2倍」とか「0.5倍」といった言い方が通り始めるのは,ピアジェ風に言えば形式操作期に入ってから,ということだ.
「整数倍」という言い方を「正の数倍」に,そして「実数倍」へと拡げていってやっと「0倍」も心象風景に入ってくる.
(もちろん小学校でも0は整数としているから,もっと早くに「0倍」も認知されるのかもしれないが.)
もっとも,そんな事言わずとも個数比較における「倍」の考え方を量に適用し始める,つまり「比」と捉え始めれば自然に拡張されていくだろう.
「2倍ほどじゃないけど元よりは大きい.一つと半分ぐらい大きい.」
そう言うとき,それは「1.5倍」という言い回しの始まりだろう.

,問題はここから.
学問的定義では正しいことを教育的配慮によって間違いとされたときにSNS上で話題となる.
それはしばしば安易な算数教育バッシングに発展する.
「バツにされる」というのは,やはり誰にとっても不快なものだろうし,それが理不尽に思える理由であったならなおさらだ.
こうした周期的に発生する不毛なゴタゴタに対して,2つのことを提案したい.

  1. 「教育的配慮」によって学問的定義と異なる「きまり」を指導要領解説に載せるのであれば,それがどのような発達心理学的な考慮をしたものであるのか,という理由を同時に明記してはどうだろうか.括弧書きで(このとき0は倍数に含めていない)などと逃げるのではなく,真正面からその理由を明記しよう,ということだ.そしてできればその「心理学的影響がある」ことを示す研究報告への参照があると良い.
  2. 一方で,バツを付ける側の教員には「それは小学校教育でのローカルルールですので」と開き直るのではなく,バツを付けるに至る発達心理学的根拠をきちんと把握し,必要に応じてそれが説明できるようであって欲しい.同時にもちろん,学問的定義ではどのようであるのか知っていなければならない.というのも,やはり同輩の先を行く子供はいるわけで,「0も倍数に含めたほうが美しい」と実際に思っているかもしれないからだ.2歳のときには負の数の概念も分かっていた,というポール・エルデシュのような人もいるからね.

まぁ,とすると今眼の前にいる学生たちに他ならぬ我々教員がこういった教育的配慮の根拠を常々語っていなければならないはずだけどね.数学者はしかし結構知らないんだなぁ,こういったこと(自分も含めて).

いずれにしても,「理屈では合っているのに理不尽にバツを付けられた」と子供が感じ続けているのならば,それは速やかに取り除かれねばならない感覚だ.
それを放っておけば一斉教育の被害者を一人増やすことになるから.

今回,図らずもとったアンケートから面白いことが浮かび上がってきたので,書き留めてみた.
けれどこの話に拘るその根源には有名な「掛け算の順序問題」がずっと心に引っかかっているからだった.(つづく...かもしれない)

かけ算には順序があるのか (岩波科学ライブラリー)

かけ算には順序があるのか (岩波科学ライブラリー)