遊び tokidoki 仕事

数学と音楽と教育と遊び

| おしごと - きょういく - がくせい - ゼミ - イベント | すうがく - おんがく - 数理音楽 - DTM - かがく - scratch
| Art - photo - おきにー - Tips - ものもう - あれこれ | About - Top

数理音楽の風景(2)-12ヶ月はLydianを奏でる

「数理音楽の風景」と題したエントリーを書いたのが,もう2年前のことだ.
tokidoki.hatenablog.jp
ちょうどその頃,極大均等性のコンセプト下での調性音楽理解の可能性が見え始めたところで,この点でいくつか書き物をしてきた.

当初は準周期系の話題の延長線上での議論だったが,どういうわけか調性音楽の仕組みと極大均等性の相性が良く,いろいろと説明できてしまう.
あるいは典型的なカデンツである五度進行も説明できるものだろうか,などと思いながらボヤッと運転してたときに,「もしかして」と気づいた事実を動画にしたのが↓.

もちろん,12ヶ月の配置がこのようになっているのは歴史的な偶然だろうと思う一方で,31日ある7ヶ月分をできるだけ均等に12ヶ月に配置しようとした,という無意識/意識的な作用があったとしたら,やはり自動的にこの配置に,しかも一意的に決まる.

さてさて,何を言い出したのか.
今後,「数理音楽」エントリーに毎度現れるであろう極大均等性についてまずは書いておこう.
極大均等性(maximal evenness)とは,例えば白と黒の碁石を円形に並べたとき,白と黒の配置が「できるだけ均等になるように」並べた状態のことだ(いや,ちゃんとした定義は下でするけど).

例えば白と黒が同数ならこれは簡単で,白と黒を交互に並べれば良いだろうし,白が黒の2倍あるなら,黒を3つごとに並べれば均等になるだろう.
一般に白 w個,黒 b個あって,w=kb の倍数関係にあるなら,黒を k個ごとに置けば良いはずだ.
f:id:okiraku894:20190202150408p:plain:h150

では,倍数関係になかったらどうなるだろう.特に互いに素だったら.
よく高校生などに「白石7つと黒石5つをできるだけ均等になるように並べてごらん」というと,白黒を交互に並べて最後に黒の一つを白に変えるとか,黒を4つ配置した後どこか一箇所の白を黒に変える,といった回答をするがこれらはまだ均等に近くはない.
f:id:okiraku894:20190202151006p:plain:h150
実際,白は重さがなく黒が 1g の重りだったとして原点中心の半径1の円に上図のように並べたなら,それらの重心は計算すると(ただし,平均は12ではなく5で割ったがそれは本質ではない)それぞれ

\begin{align*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{1,3,5,7,11\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})&=(0,\frac{1}{5})\\
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{0,3,6,8,9\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})&=(-\frac{1}{10},-\frac{\sqrt{3}}{10})
\end{align*}
となり,どちらも重心は原点から距離\frac{1}{5}の位置にある.しかし下図のように黒石を一つ隣に移動してみよう.
f:id:okiraku894:20190202154658p:plain:h150
どちらも同じ配置になるので右の場合で重心を計算してみると,

\begin{equation*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{0,3,6,8,10\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})=(0,\frac{1-\sqrt{3}}{5})
\end{equation*}
となって,重心の原点からの距離は\frac{\sqrt{3}-1}{5}<\frac{1}{5} だからさっきより近くなる.
しかしこれよりもっと(そして実は最短となる)重心が原点に寄る配置が,まさにピアノ鍵盤における黒と白の配置だ.
f:id:okiraku894:20190202161101p:plain:h150
右図にした場合,

\begin{equation*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{1,3,6,8,10\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})=(-\frac{2-\sqrt{3}}{10},-\frac{2\sqrt{3}-3}{10})
\end{equation*}
となるから,重心の原点からの距離は\frac{2-\sqrt{3}}{5}<\frac{\sqrt{3}-1}{5},つまり更に先程より近くなった.

さて,ここまで先延ばしにしてきた極大均等性のきちんとした定義を述べておこう.


【極大均等性】
0と1からなる無限に続く記号列 {\bf w}=\cdots w_{-1}w_0w_1w_2\cdots について,\bf{w}から同じ長さの任意の2つの有限部分列 {\bf u}=w_kw_{k+1}\cdots w_{k+n},{\bf v}=w_lw_{l+1}\cdots w_{l+n} を取ってくると,必ず

{\bf u} に含まれる1の個数と {\bf v} に含まれる1の個数の差は高々1以下

となるとき,{\bf w} は極大均等であるという.
これは語の組合せ論でいうところの balanced wordの定義に他ならない.
因みに,数理音楽の分野ではこれを Myhillの性質と呼んでいる.
なお,この定義において取ってくる有限部分列の長さはいくらでも良く,また{\bf u} と {\bf v}の一部が被っていようと構わない.

では実際にピアノ鍵盤の場合に当てはまるか見てみよう.
f:id:okiraku894:20190202173824p:plain
この場合,白=0,黒=1として考える無限列は周期が12の列

\begin{equation*}
{\bf w}=\cdots \underline{010100101010}010100101010010100101010\cdots
\end{equation*}
となる.

  • 長さ1の部分列のとき:要するに1文字なので0か1しかなく,だから含まれる1の個数の差は高々1.
  • 長さ2の部分列のとき:現れる組み合わせは00,01,10のみで,だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1.
  • 長さ3の部分列のとき:現れる組み合わせは001,010,100,101のみで,だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1.
  • 長さ4の部分列のとき:現れる組み合わせは0010,0100,0101,1010,1001のみで,だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1.

以下,長さをいくら変えても含まれる1の個数の違いは高々1となることが観察できる.
特に長さを12の倍数に取ると,常に含まれる1の数は等しい.
こんなふうに,どんな長さで比較しようと1の現れ方のブレが高々1なので,とても均等に近い状態で1が並んでいるということになる.

つまり,12ヶ月に31日のある月7ヶ月分をできるだけ均等に並べたい,とか,12音に黒鍵5つをできるだけ均等に並べたい,と思うと,自動的にこの極大均等な配置になってしまうということだ.
さて,このままだと単なる偶然だったりオカルト的だったりするわけだが,少なくとも音階の成り立ちについては,連分数展開に関わるきちんとした数学的裏付けができる.
が,その話は,またの回にて.

Music Theory and Mathematics: Chords, Collections, and Transformations (Eastman Studies in Music)

Music Theory and Mathematics: Chords, Collections, and Transformations (Eastman Studies in Music)

AIは電気羊の夢を見るか

今週,ゼミ生6名の卒論の提出がとりあえず完結した(とりあえず).
決まったタイトル一覧.

  • 「ボーッと跳んでんじゃねーよ!ー跳躍軌道と踏切動作の力学モデルー」
  • 「フェロモンは裏切らないー蟻コロニーモデルを用いた巡回セールスマン問題の解法ー」
  • 「オオハシくんには騙されないー簡易ダウトゲームの必勝戦略ー」
  • 「AIは電気羊の夢を見るか―誤差逆伝搬学習法とニューラルネットワーク―」
  • 「数のダークマター,超越数ー無理数度,リュービル数,そしてリンデマンー」
  • 「勝利の女神はあなたにハニカム?ーHEXの必勝戦略と不動点定理ー」

で,AIをネタにした卒論がこのエントリーのタイトル.
ピンとくる人はピンとくる,あの名作「ブレードランナー」の原作タイトルのパロディーだ.
アンドロイドは電気羊の夢を見るか? (ハヤカワ文庫 SF (229))

アンドロイドは電気羊の夢を見るか? (ハヤカワ文庫 SF (229))

この映画が公開された当時の80年台,確かに第2次AIブームがあった.
当然自分も惹かれた分野だったのだけど,蓋を開けてみれば,その当時のAIはひたすら人間が場合分けを尽くしてそれをプログラムするといった,子供ながらに実に不毛だと思われる作業の繰り返しだった.
主にLISPで書かれたそれらプログラムは,「未来はそっちじゃない」と,そう確信できてしまうものばかりだった.

かつて子供の私は,人工知能というもう一つの知性の誕生に有る種の希望を見出していた.
人類とは違う知性,感情から完全に独立した知性というモノへの憧憬があった.
あの当時の研究ノートには確かに記されている.
「人工知能,いや人工知性が実現した暁には,君たちからみて人類はどう見えるのか尋ねてみたい.」と.

今や,人工知能のシミュレーションを個人がフリーで行える時代だ.
Sonyが提供するNeural Network Consoleはそのいい例だ.
dl.sony.com
今回の卒論も,この環境をフルに活用したものだ.

ところで,このエントリーを書こうと思ったのは,Googleが提供する,というか,実は参加することで人工知能への学習データを提供するという企てを知ったからだった.
quickdraw.withgoogle.com
これ,面白いよ.
もう,そうとう学習が進んでいるらしく,かなり怪しい絵でも分かってくれるようになっている.
マウスで描くとかなりメチャクチャなんだけど,分かってくれる.
で,「川」が出題されたのだけど,これが意外と難しくて判定してもらえなかった.
こうして,世界中の人がゲームとして参加しているうちに,GoogleAIは賢くなっていくって塩梅だ.
うまいよな,人間をゲームに誘って学習データを集めるっていう設計が.

Sigma2018の新年会!

絶滅危惧種として登録されていた数学同人 Sigmaは,ひょんな事で今年度は人数が集まっている.
f:id:okiraku894:20190127100927j:plain:w400,left
で,新年会が行われた.

f:id:okiraku894:20190127101109j:plain:w400,right
いや,メンバーホントは15人いるのだけど,バイトやら何やらで参加者こんな感じ.
f:id:okiraku894:20190127100936j:plain:w400,left
f:id:okiraku894:20190127101309j:plain:w400,right
f:id:okiraku894:20190127100736j:plain:w400,left

f:id:okiraku894:20190127101231j:plain:w400,right
サイドメニューとかもつけたので,結構腹がふくれた.


しかし,実質活動メンバーはこのところ少ない.
皆がともに熱くなる話題,活動がなかなか定まらないところに原因が有るのだろうな.

算数事始め(2)

シリーズにするつもりはなかったんだけど,また虱潰しに調べてみたので,報告.
tokidoki.hatenablog.jp

算数科研究ネタ探しを続けているが,調べるとこんな算数活動もあるらしい.

 □□+□□=□□
1,2,3,4,5,7全てを□に当てはめて,正しい式にしましょう.
(小学2年生向け)

ちょっと考えると例えば
 12+35=47
なんて出るわけだが,こういった繰り上がりのないパターンは桁の入れ替えが自由にできるので

\begin{gather*}
 12+35=47, 15+32=47, 32+15=47, 35+12=47,\\
 21+53=74, 23+51=74, 51+23=74, 53+21=74
\end{gather*}

2^3パターンが生まれる.そしてこれ以外には無さそうだ.

さて,こうなると他の6つの数で試すとどうなるか,が気になってくる(でしょ?).
探すと繰り上がりが有るパターンもある.例えば 1,2,3,4,5,8に変えると,

\begin{gather*}
14+38=52, 18+34=52, 34+18=52, 38+14=52,\\
15+28=43, 18+25=43, 25+18=43, 28+15=43
\end{gather*}

という具合で,今度は単なる入れ替えでない.というのも1の位での繰り上がりは許されるが,それをこのゲームのルール上10の位に持ってくるわけに行かないからだ.それでもそれを補完するように別の組み合わせで合計8パターンとなる.
ところが同じ繰り上がりが発生していても補完パターンが無いものも有る.例えば1,2,3,4,6,9だ.

\begin{gather*}
13+49=62,19+43=62,43+19=62,49+13=62
\end{gather*}

その一方で,12パターンある組み合わせもある.1,2,4,5,7,8を選ぶと,

\begin{gather*}
17+28=45, 18+27=45, 27+18=45, 28+17=45,\\
14+58=72, 18+54=72, 54+18=72, 58+14=72,\\
24+57=81, 27+54=81, 54+27=81, 57+24=81
\end{gather*}

となる.ところが,反対に全く何も作れない組み合わせもある.それが結構ある.
たとえば,1,2,3,4,5,6や1,2,3,5,6,8などなど.

さて,これをチマチマ探したのかというと,ご想像の通り,また10進BASICで先回りして調べた.
結果一覧が以下.要するに1から9の中から3つを選ばないので全部で{}_9C_3=84通りの数の組み合わせを全部調べれば良い.
先頭の(123456)などが使用する6つの数,その後は実際の解.

【パターン数=0 】つまり解が無いもの.28個.
\begin{align*}
&(456789),(356789),(345789),(345679),(345678),(246789),(245789),(245678),\\
&(234789),(234689),(234679),(234579),(234567),(156789),(135689),(134679),\\
&(134678),(134589),(134578),(126789),(125689),(124589),(123789),(123679),\\
&(123678),(123569),(123568),(123456).
\end{align*}

【パターン数=4】14個.
\begin{gather*}
(346789):37+49=86, 39+47=86, 47+39=86, 49+37=86,\\
(245679):26+49=75, 29+46=75, 46+29=75, 49+26=75,\\
(236789):28+39=67, 29+38=67, 38+29=67, 39+28=67,\\
(235689):25+68=93, 28+65=93, 65+28=93, 68+25=93,\\
(234569):25+39=64, 29+35=64, 35+29=64, 39+25=64,\\
(145689):15+69=84, 19+65=84, 65+19=84, 69+15=84,\\
(135679):17+39=56, 19+37=56, 37+19=56, 39+17=56,\\
(134689):14+69=83, 19+64=83, 64+19=83, 69+14=83,\\
(125678):15+67=82, 17+65=82, 65+17=82, 67+15=82,\\
(124569):16+29=45, 19+26=45, 26+19=45, 29+16=45,\\
(123579):13+59=72, 19+53=72, 53+19=72, 59+13=72,\\
(123489):32+49=81, 39+42=81, 42+39=81, 49+32=81,\\
(123478):23+48=71, 28+43=71, 43+28=71, 48+23=71,\\
(123469):13+49=62, 19+43=62, 43+19=62, 49+13=62.
\end{gather*}

【パターン数=8】40個.
\begin{align*}
(345689):&36+49=85, 36+58=94, 38+56=94, 39+46=85, \\
&46+39=85, 49+36=85, 56+38=94, 58+36=94,\\
(256789):&27+59=86, 27+68=95, 28+67=95, 29+57=86, \\
&57+29=86, 59+27=86, 67+28=95, 68+27=95,\\
(245689):&24+65=89, 25+64=89, 42+56=98, 46+52=98, \\
&52+46=98, 56+42=98, 64+25=89, 65+24=89,\\
(235789):&23+75=98, 25+73=98, 32+57=89, 37+52=89, \\
&52+37=89, 57+32=89, 73+25=98, 75+23=98,\\
(235679):&23+56=79, 26+53=79, 32+65=97, 35+62=97, \\
&53+26=79, 56+23=79, 62+35=97, 65+32=97,\\
(235678):&26+57=83, 27+38=65, 27+56=83, 28+37=65, \\
&37+28=65, 38+27=65, 56+27=83, 57+26=83,\\
(234678):&23+64=87, 24+63=87, 32+46=78, 36+42=78, \\
&42+36=78, 46+32=78, 63+24=87, 64+23=87,\\
(234589):&24+59=83, 29+54=83, 34+58=92, 38+54=92, \\
&54+29=83, 54+38=92, 58+34=92, 59+24=83,\\
(234578):&25+48=73, 28+45=73, 35+47=82, 37+45=82,\\
&45+28=73, 45+37=82, 47+35=82, 48+25=73,\\
(234568):&23+45=68, 25+43=68, 32+54=86, 34+52=86,\\
&43+25=68, 45+23=68, 52+34=86, 54+32=86,\\
(146789):&16+78=94, 18+49=67, 18+76=94, 19+48=67, \\
&48+19=67, 49+18=67, 76+18=94, 78+16=94,\\
(145789):&14+75=89, 15+74=89, 41+57=98, 47+51=98, \\
&51+47=98, 57+41=98, 74+15=89, 75+14=89,\\
(145679):&14+65=79, 15+64=79, 41+56=97, 46+51=97, \\
&51+46=97, 56+41=97, 64+15=79, 65+14=79,\\
(145678):&16+58=74, 17+48=65, 18+47=65, 18+56=74, \\
&47+18=65, 48+17=65, 56+18=74, 58+16=74,\\
(136789):&13+76=89, 16+73=89, 31+67=98, 37+61=98, \\
&61+37=98, 67+31=98, 73+16=89, 76+13=89,\\
(135789):&15+78=93, 18+39=57, 18+75=93, 19+38=57,\\
&38+19=57, 39+18=57, 75+18=93, 78+15=93,\\
(135678):&13+65=78, 15+63=78, 31+56=87, 36+51=87, \\
&51+36=87, 56+31=87, 63+15=78, 65+13=78,\\
(134789):&13+84=97, 14+83=97, 31+48=79, 38+41=79, \\
&41+38=79, 48+31=79, 83+14=97, 84+13=97,\\
(134579):&14+59=73, 19+54=73, 34+57=91, 37+54=91,\\
&54+19=73, 54+37=91, 57+34=91, 59+14=73,\\
(134569):&13+46=59, 16+43=59, 31+64=95, 34+61=95, \\
&43+16=59, 46+13=59, 61+34=95, 64+31=95,\\
(134567):&13+54=67, 14+53=67, 31+45=76, 35+41=76, \\
&41+35=76, 45+31=76, 53+14=67, 54+13=67,\\
(125789):&12+85=97, 15+82=97, 21+58=79, 28+51=79, \\
&51+28=79, 58+21=79, 82+15=97, 85+12=97,\\
(125679):&12+57=69, 17+52=69, 21+75=96, 25+71=96, \\
&52+17=69, 57+12=69, 71+25=96, 75+21=96,\\
(124789):&14+78=92, 18+29=47, 18+74=92, 19+28=47, \\
&28+19=47, 29+18=47, 74+18=92, 78+14=92,\\
(124689):&12+84=96, 14+82=96, 21+48=69, 28+41=69, \\
&41+28=69, 48+21=69, 82+14=96, 84+12=96,\\
(124679):&17+29=46, 19+27=46, 24+67=91, 27+19=46, \\
&27+64=91, 29+17=46, 64+27=91, 67+24=91,\\
(124678):&12+74=86, 14+72=86, 21+47=68, 27+41=68,\\
&41+27=68, 47+21=68, 72+14=86, 74+12=86,\\
(124579):&12+47=59, 17+42=59, 21+74=95, 24+71=95, \\
&42+17=59, 47+12=59, 71+24=95, 74+21=95,\\
(124568):&12+46=58, 16+42=58, 21+64=85, 24+61=85, \\
&42+16=58, 46+12=58, 61+24=85, 64+21=85,\\
(124567):&15+47=62, 17+45=62, 25+46=71, 26+45=71, \\
&45+17=62, 45+26=71, 46+25=71, 47+15=62,\\
(123689):&13+69=82, 19+63=82, 23+68=91, 28+63=91,\\
&63+19=82, 63+28=91, 68+23=91, 69+13=82,\\
(123589):&12+83=95, 13+82=95, 21+38=59, 28+31=59, \\
&31+28=59, 38+21=59, 82+13=95, 83+12=95,\\
(123578):&12+73=85, 13+72=85, 21+37=58, 27+31=58,\\
&31+27=58, 37+21=58, 72+13=85, 73+12=85,\\
(123567):&12+63=75, 13+62=75, 21+36=57, 26+31=57, \\
&31+26=57, 36+21=57, 62+13=75, 63+12=75,\\
(123479):&12+37=49, 17+32=49, 21+73=94, 23+71=94, \\
&32+17=49, 37+12=49, 71+23=94, 73+21=94,\\
(123468):&12+36=48, 16+32=48, 21+63=84, 23+61=84, \\
&32+16=48, 36+12=48, 61+23=84, 63+21=84,\\
(123467):&16+27=43, 17+26=43, 24+37=61, 26+17=43, \\
&27+16=43, 27+34=61, 34+27=61, 37+24=61,\\
(123459):&14+25=39, 15+24=39, 24+15=39, 25+14=39, \\
&41+52=93, 42+51=93, 51+42=93, 52+41=93,\\
(123458):&14+38=52, 15+28=43, 18+25=43, 18+34=52, \\
&25+18=43, 28+15=43, 34+18=52, 38+14=52,\\
(123457):&12+35=47, 15+32=47, 21+53=74, 23+51=74,\\
 &32+15=47, 35+12=47, 51+23=74, 53+21=74.
\end{align*}

【パターン数=12】2個.
\begin{align*}
(134568):&15+48=63, 16+38=54, 18+36=54, 18+45=63,\\
&35+46=81, 36+18=54, 36+45=81, 38+16=54,\\
&45+18=63, 45+36=81, 46+35=81, 48+15=63,\\
(124578):&14+58=72, 17+28=45, 18+27=45, 18+54=72,\\
&24+57=81, 27+18=45, 27+54=81, 28+17=45,\\
&54+18=72, 54+27=81, 57+24=81, 58+14=72.
\end{align*}

まぁ,まずはとにかくやってみることだ.

おっと,また整理されてないBASICソースを.

REM
REM [算数科研究ネタ]
REM 「6つの数で二桁足し算□□+□□=□□を作る」
REM Ver. 2019/01/04
REM

LET nums$="123456789"
FOR p=1 TO 9
   LET X$=nums$
   LET X$(p:p)=""
   FOR q=1 TO 8
      LET X0$=X$
      LET X0$(q:q)=""
      FOR r=1 TO 7
         LET X1$=X0$
         LET X1$(r:r)=""
         PRINT "For [";X1$;"]"
         LET LL=LEN(X1$)
         FOR i=1 TO LL
            LET D2$=X1$(i:i)
            LET X2$=X1$
            LET X2$(i:i)=""
            FOR j=1 TO LL-1
               LET D1$=X2$(j:j)
               LET X3$=X2$
               LET X3$(j:j)=""
               LET a=VAL(D2$&D1$)
               FOR k=1 TO LL-2
                  LET D4$=X3$(k:k)
                  LET X4$=X3$
                  LET X4$(k:k)=""
                  FOR l=1 TO LL-3
                     LET D3$=X4$(l:l)
                     LET X5$=X4$
                     LET X5$(l:l)=""
                     LET b=VAL(D4$&D3$)
                     IF a+b=VAL(X5$) THEN
                        PRINT USING"##+##=##":a,b,VAL(X5$)
                     ELSE
                        LET X5$=X5$(2:2)&X5$(1:1)
                        IF a+b=VAL(X5$) THEN
                           PRINT USING"##+##=##":a,b,VAL(X5$)
                        END if
                     END if
                  NEXT l
               NEXT k
            NEXT j
         NEXT i
         PRINT "-----------------------"
      NEXT r
   NEXT q
NEXT p
END

本当はすごい小学算数

本当はすごい小学算数

算数事始め

年末からどうも体の具合がおかしく,卒論の手直しが思うように進まない.
背中がゾクゾクするし風邪かと思うのだが,どうも花粉症的な症状に近い.
そういえばこのところ毎年正月前後に体の調子が悪くなる.
ようやく一息つけると,気持ちが油断するのかもしれない.

おまけに今年に限っては算数科研究ネタを急ピッチで作り上げねばならず,結構ピンチ.
で,年末に手に入れたネタ本が結構使えそう.
名門中学の算数入試問題をもとに数学とはなんぞや,を説いてくれる本だ.

本当はすごい小学算数

本当はすごい小学算数

何しろトビラの問題からして使えそうだったんで早速Amazonでポチった.

その第一章はとにかくやってみなはれ,という内容.
第1章「考える力」よりも大事な「やってみる力」
うん,もうこの15年ほど手の動かない学生を見ていていつも思うことだ.
つべこべ言わず,まずあれこれやってみなはれ,だ.
ついでにいうと,数学なんて本当は最初から授業やテキストで学ぶものなんかじゃない,あれこれやってみての「どうして」がそもそも無いと,お経を唱えるのとさして変わらない,と思う.

で,何はともあれ算数科研究ネタ作成に脅されながら,初めの問題をみる.

1□2□3□4□5=2□3□4□5□6
の□には×か+が入ります.
この式が正しくなるような×と+の入れ方を2通り見つけなさい.
(2008年 麻布中学入試)

さて,こういう問題,下手に数学慣れしていると何か一般法則を見つけようとしてかえって手が動かなくなるかもしれない.
けれど,これは小学生の問題,とにかくあれこれやって探せ,という単純な問題と思ったほうが早く答えが見るかる.

いや,学生にやらせる前にまず自分で探さなきゃ,なのだけど,もう頭がぐぁんぐぁん,背中もゾクゾクの状態なので,一つ答えを見つけたところで10進BASICに解かせることにした.
ズルい,の極みである.
もちろんついでなので問題を

連続する1,2,...,nと2,3,...,n+1の間に×か+を入れて成り立つ等式を探す.

にして,ただし,n<9,つまり一桁の数で収まるように限定して作ることにした.

まず
1□2=2□3と1□2□3=2□3□4
には解がなかった.

1□2□3□4=2□3□4□5
の解は
\begin{align*}
5&=1+2+3\times4=2\times3+4+5\\
14&=1\times2+3\times4=2+3+4+5\\
25&=1+2\times3\times4=2+3+4\times5
\end{align*}
の3つ.

1□2□3□4□5=2□3□4□5□6
の解は
\begin{align*}
20&=1+2+3\times4+5=2+3+4+5+6\\
25&=1\times2+3+4\times5=2+3\times4+5+6
\end{align*}
の2つ.

1□2□3□4□5□6=2□3□4□5□6□7
の解は
\begin{align*}
32&=1+2+3+4\times5+6=2+3\times4+5+6+7\\
32&=1\times2\times3+4\times5+6=2+3\times4+5+6+7\\
68&=1\times2+3\times4\times5+6=2\times3+4\times5+6\times7\\
39&=1\times2+3+4+5\times6=2\times3+4\times5+6+7
\end{align*}
の4つ.

1□2□3□4□5□6□7=2□3□4□5□6□7□8
の解は
\begin{align*}
40&=1+2\times3+4\times5+6+7=2+3\times4+5+6+7+8\\
76&=1+2+3\times4\times5+6+7=2\times3+4\times5+6\times7+8\\
76&=1+2+3\times4\times5+6+7=2+3+4+5+6+7\times8\\
75&=1\times2+3\times4\times5+6+7=2+3+4\times5+6\times7+8\\
47&=1+2+3+4+5\times6+7=2\times3+4\times5+6+7+8\\
46&=1\times2+3+4+5\times6+7=2+3+4\times5+6+7+8\\
47&=1\times2\times3+4+5\times6+7=2\times3+4\times5+6+7+8\\
69&=1+2\times3+4\times5+6\times7=2\times3\times4+5\times6+7+8\\
69&=1+2\times3+4\times5+6\times7=2+3\times4+5+6\times7+8
\end{align*}
の9つ.

そして
1□2□3□4□5□6□7□8=2□3□4□5□6□7□8□9
の解は19個らしい.
\begin{align*}
84&=1+2+3\times4\times5+6+7+8=2+3+4\times5+6\times7+8+9\\
55&=1+2+3+4+5\times6+7+8=2+3+4\times5+6+7+8+9\\
56&=1+2\times3+4+5\times6+7+8=2\times3+4\times5+6+7+8+9\\
55&=1\times2\times3+4+5\times6+7+8=2+3+4\times5+6+7+8+9\\
59&=1\times2+3\times4+5\times6+7+8=2\times3\times4+5+6+7+8+9\\
140&=1\times2+3+4\times5\times6+7+8=2\times3+4\times5+6\times7+8\times9\\
64&=1\times2+3+4+5+6\times7+8=2\times3+4+5\times6+7+8+9\\
78&=1+2\times3+4+5+6+7\times8=2\times3\times4+5\times6+7+8+9\\
78&=1+2\times3+4+5+6+7\times8=2+3\times4+5+6\times7+8+9\\
92&=1+2\times3\times4+5+6+7\times8=2+3\times4\times5+6+7+8+9\\
88&=1+2+3+4\times5+6+7\times8=2\times3\times4+5+6\times7+8+9\\
88&=1\times2\times3+4\times5+6+7\times8=2\times3\times4+5+6\times7+8+9\\
96&=1+2+3+4+5\times6+7\times8=2+3+4\times5+6+7\times8+9\\
97&=1+2\times3+4+5\times6+7\times8=2\times3+4\times5+6+7\times8+9\\
96&=1\times2\times3+4+5\times6+7\times8=2+3+4\times5+6+7\times8+9\\
100&=1\times2+3\times4+5\times6+7\times8=2\times3\times4+5+6+7\times8+9\\
100&=1\times2+3\times4+5\times6+7\times8=2\times3+4+5+6+7+8\times9\\
111&=1+2\times3\times4+5\times6+7\times8=2\times3+4\times5+6+7+8\times9\\
110&=1\times2\times3\times4+5\times6+7\times8=2+3+4\times5+6+7+8\times9
\end{align*}

最後に10進BAISCのソース.
行き当たりばったりで作ったので汎用性ゼロ.
そしてこういうのを作ってるときは頭が痛くない.

LET lim=5
INPUT  PROMPT "いくつの数で?(1,2,...,nと2,3,...,n+1)":lim

FOR k=0 TO 2^(lim-1)-1
   LET aa$="1"
   FOR i=0 TO lim-2
      IF bitand(k,2^i)<>0 THEN
         LET aa$=aa$&"*"&STR$(i+2)
      ELSE
         LET aa$=aa$&"+"&STR$(i+2)
      END IF
   NEXT i
   FOR l=0 TO 2^(lim-1)-1
      LET bb$="2"
      FOR i=0 TO lim-2
         IF bitand(l,2^i)<>0 THEN
            LET bb$=bb$&"*"&STR$(i+3)
         ELSE
            LET bb$=bb$&"+"&STR$(i+3)
         END IF
      NEXT i
      LET aa=calc(aa$)
      LET bb=calc(bb$)
      IF aa=bb THEN PRINT STR$(aa)&"="&aa$&"="&bb$
   NEXT l
NEXT k
FUNCTION calc(x$)
   DIM p$(1 TO 10)
   FOR i=1 TO 10
      LET p$(i)=""
   NEXT i
   LET pp=1
   LET i=2
   LET j=1
   DO
      IF X$(i:i)="+" THEN
         LET p$(pp)=X$(j:i-1)
         LET pp=pp+1
         LET j=i+1
      END IF
      LET i=i+1
   LOOP UNTIL i>LEN(X$)
   LET p$(pp)=X$(j:i-1)
   LET pp=1
   LET ans=0
   DO UNTIL P$(pp)=""
      LET Y$=P$(pp)
      LET Z=1
      DO
         LET z=z*VAL(Y$(1:1))
         LET Y$(1:2)=""
      LOOP UNTIL Y$=""
      LET ans=ans+z
      LET pp=pp+1
   LOOP 
   LET calc = ans
END FUNCTION
END