それでも正しいと思うからやり続けるだけなのさ

何がって，具体的に確率的現象を体験させるために
講義中にあれこれ実験してもらう作業のことさ．

今年は10年ぶりにがらりとやり方を変えた統計とコンピュータ，
記述統計が片付いてようやく推測統計学だ．
例年，大数の法則と中心極限定理を雰囲気だけでもつかんでもらおうと，
あれこれシミュレーションをやって見せるのだが，
全くと言っていいほど反応の無い，この講義中に最も無力感を味わう場面でもある．

さて，今年も性懲りもなく挑戦してみた．
ただ今回は大きく実験を取り入れてきたので，
大数の法則が容易に体験できそうな実験をと探し歩いてたら，
啓林館のページに中学生向けの授業実践に確率を扱ったものがあり，
それを利用させてもらった．www.shinko-keirin.co.jp
コインとペットボトルのキャップとピンをガラガラと振って，
それぞれが下の写真のようになる確率を予想して大きい順に並べよ，という題材だ．

この実験の最も良いところは，結果がどうなるかちょっと分からない，
人によって意見が分かれるという点だ．

さて2人一組になって下記の容器を50回ずつ振ってもらう．
一人は記録係となりEXCELに裏表をチェックしていく．
その後，10回毎のデータをGoogle formにて全員から採集，
一方，彼らのEXCELシートには表の比率が時系列と共にグラフ化されて
次第にそれぞれがある確率に近づいていく様子が描かれるという仕組みだ．

初めての試みでもあり，時間配分がどうなるのかさっぱりで始めたのだが，
無事実験が終わりデータも集まり，
そしてチェビシェフ不等式→大数の弱法則の証明まで90分の時間内に完了した．
10回毎に区切ったデータを送ってもらったのは他でもない，
その先にある中心極限定理をも現象として見せられるかもしれない，と期待したからだった．
もっとも一人50回，これがおよそ100人，わずか500個の標本平均値が集まるだけだから，
昨年度まで行っていた「ナンチャッテ世論調査」のように綺麗には正規分布は現れない．
（実際集めてみたが，いまいちだった...）

何にしてももらったデータをもとに相対度数を時系列表示すると以下のようになった．

これによれば「コイン」＞「ピン」＞「キャップ」となる．
だが問題はここからだ．本当にそう断言して良いのか，ということだ．
50回程度では確率が逆転しそうなところもあり怪しいわけだが，
この先の雰囲気からすれば，もうひっくりかえることは「無さそう」だ．
でも「無さそう」であって，「無い」という保証はない．
そして，このあやふやさに「信頼度」という概念を従えて
ある程度の白黒を付けるのが中心極限定理というわけだ．
さっきのグラフに「平均±2σ」のラインを書き加えてみよう．

中心極限定理が保証するのは標本平均が「平均±2σ」程度に収まるのが95%ということ，
だから各色の点線を超えて確率が逆転してしまうのは5%以下だ，と言っている．
上記グラフでは1300個の標本平均だと±3σでも余裕で確率が分離できている．
±3σは信頼度99%に相当する．
だから，この実験が間違った結論を導いている確率は1%以下だということだ．

しかし，先ほども書いたように集まるサンプル数が少ないため，
正規分布が見えるほどにならない．
というわけで，この先は連続な確率変数でのシミュレーションとして
過去数年，講義中に提示し続けてきたn本ダーツの重心の分布を見てもらうことにする．
といってもEXCELの計算量の関係から16本程度までしか実験していないのだが，
それでも次第に重心分布がボードの中心に収束していくとともに，
そのヒストグラムが一様分布から正規分布へと次第に形を変えていく様子が見えるはずだ．

と，こんな具合に今年もこの概念を何とか分かってもらうべく，
色々と道具立てして準備してみているのだが，
真にもって残念なのは，こういった実験中，ひたすら寝ている学生がいること．
もちろんここは大学，学びたくない者を叩き起こすなどという
園児相手のような低レベルなことをするわけがない．
そんな彼らに言いたいのは，いつも言っていること．
（とはいっても，この頃は当ブログを見ている現役学生もごく少数なわけだが）
自分の学びすら大切にできない者が
他者を学びに導けるわけがない．

まぁいい．
それでも自分の活動は少なくともその目指すところは間違っていないと思うから，
この先も淡々と続けるだけだ．

おっと，忘れずいつものも貼っておこう．

人を伸ばす力―内発と自律のすすめ

基数システムで遊び倒す

ネイピアの骨ってのは古来知られた計算盤として
しばしば教育現場でも取り扱われるネタだろう．

でも，Genaille-Lucasの計算盤は日本ではあまり有名ではないようだ．
自分も某講義の下準備のため調べていくうちに見つけた．
Genaille–Lucas rulers - Wikipedia, the free encyclopedia
で，やっぱり作ってしまった，Scratchで．

↓複数桁自然数×一桁のシミュレーションをやってくれる．

おまけに，Genaille-Lucasには割り算バージョンもあるのだ．

さて，毎度こちらがあれこれネタを用意して見せてきた某教科学．
そろそろテレビのように見てる学生らにもパフォーマンスを出してもらいたい．
ということでこのGenaille-Lucas計算盤を彼らに設計してもらうことにした．

初めにネイピアの骨で計算棒というアイディアに触れてもらって
それを踏まえて一部のみ分かるようにしたGenaille-Lucas計算棒一覧を渡し，
これを完成してもらう作業を課した．
もちろん，使い方そのものも自分たちで考えてもらうことから始めた．
これまで散々筆算で掛け算をやってきただろうし，
おまけに直前にネイピアの骨で繰り上がりの仕組みを再確認したから，
さすがに皆仕組みまで自ら発見するだろうと思いきや，それがなかなか．
最後までこの仕組みを納得できないで
見た目の法則だけで完成させたものもちらほら．

学生らがいかに形式的にしか物事を見ないで過ごしているのか
それを改めて思い知った場面だった．

The Sieve of Moebius

二次関数y=x²を描く．
で，あらゆる整数p,qの組合せに対し，P(p,p²)とQ(q,q²)を結ぶ．
するとy軸上でこれら線分が通った点を消していくと，素数だけが生き残る．

一見不思議なんだけど，実は線分PQのy切片はいつもpqになることに由来している．
紀元前からエラトステネスの篩として素数をだけ残す篩が知られていたが，
19世紀にメビウスは放物線上の整数点から篩ってみたわけだ．
生徒が二次関数の学習をしたときの，ちょっとした小ネタにできそうな話題．
れいの「教科学」のネタ...

楕円曲線を始めとする代数多様体上の有理点は数論幾何の主対象なんだが，
実は二次曲線であっても色々と面白いことが起こる．
円上の有理点はピタゴラス数全てに対応するが，
これらを制御する力学系が独立に多くの人によって発見されてきた．
その辺りの話はたとえば↓に．

トポロジカル・インデックス: フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学

で，このメビウスの篩の元ネタは
ありとあらゆる方面に長年にわたり精力的な研究を続けていらっしゃる，
本業は数学者ではない，佐藤 郁郎氏のページから．
メビウスのふるい
がんセンターに勤めながら，この膨大な数学コラムの山．

おもしろそうだったからBASICで作ってみた．
↓クリックで拡大

REM
REM [Moebius sieve]
REM Ver. 2015/05/02
REM

INPUT  PROMPT "maximal number":maxN
LET maxX=INT(SQR(maxN))
DIM pr(2 TO maxN)
FOR k=2 TO maxX
   FOR l=2 TO INT(maxN/k)
      LET pr(k*l)=1
   NEXT l
NEXT k
SET WINDOW -maxX*1.05,maxX*1.05,-maxN*.05,maxN*1.05
DRAW axes(INT(maxX*.1),INT(maxN*.1))
SET LINE COLOR 2
FOR x=-maxX TO maxX
   PLOT LINES: x,x^2;
NEXT x
PLOT LINES
SET LINE COLOR 3
FOR j=-2 TO -maxX STEP -1
   FOR i=-j TO INT(-maxN/j)
      PLOT LINES: j,j^2; i,i^2
   NEXT i
NEXT j
DRAW axes(INT(maxX*.1),INT(maxN*.1))
SET POINT COLOR 4
SET POINT STYLE 4
FOR k=2 TO maxN
   IF pr(k)=0 THEN PLOT POINTS: 0,k
NEXT k
END

芸は身を滅ぼす？

度々，免許更新講習やら訪問授業やら高大連携やらで
有名な27 card trickをやってきたのだけど，
その仕組みを説明するときPower Pointでのアニメーションでは説得力がなかった．
しかしBASICでやるのもビジュアルにあまり楽しくないし，ってことでScratchで作ってみた．

別に27枚でなくても良いのだけど3進数表示にマッチすることだし，
基数システムの話題に載りやすいので27枚でやっている．

スタートさせると27枚が番号付きで積みあがるので，その中から1枚クリックして選ぶ．
そしてDealボタンを押すと3つの山に配られ，
その後選んだカードのある山を真ん中にして3山を重ねる．
またDealボタンを押す...を多くても3回繰り返せば，
選んだカードは必ずＢ山の真ん中にくる．
その様子が見えるように作った．

さてなぜ必ず真ん中に来るか．
それは選んだカードのある山を真ん中に挟む操作が，
3進数で番号付けした各桁を順に特定することになるからだ．
そしてこの考え方を応用すると色々カードマジックができそうだ．
しぶしぶ講義する羽目になった「教科学」で実験するかもしれない．
そうなんだ，いつもは文系や一般人や高校生相手の話題だから
それほど突っ込んだ話にしなくても喜んでくれるのだけど，
「教科学」は数学の学生相手．すぐに見破られてしまうので，
ネタ探しに毎週土日を潰す羽目になってしまった．

「芸は身を助ける」というのが一般的に知られているが，
一方で「芸は身の仇」とも言うらしい．
何だろう，何か間違った方向にどんどん進んでいる気がしてならない．
（はいそこ，「今さら」とか突っ込まない．）

四度堆積からの誘い（１）

その昔，Debussyが音楽院の学生だった頃，
完全四度を積み重ねた和声による音楽をまだ誰も作っていないことにあるとき気付き，
とても喜んだ，という逸話を何かで読んだ気がする．
この四度堆積和音という視点はそれ以後，
たくさんの音楽家たちによって試みられ，様々に発展してきた．

私自身ここにきて改めて，四度堆積という見方が気になり始めた．
というのも，それ以上音を付け加えると壊れてしまう気がするという意味で完全な和音，
トリスタン和音が四度堆積和音の派生物とも捉えられることに気付いたからだった．
トリスタン和音 - Wikipedia
ついでにこの四度堆積和音の他の派生物も色々弾き試してみると，
Jazzyな和音が次々に現れてくる．おやおや．

そんなことを大学に通勤する前の毎朝数十分，ピアノ練習の中であれこれやっているうちに，
この四度堆積，あるいは一般にn-semitone堆積という視点で
数理音楽を展開するのはどうだろう，と安直に思ったわけだ．
（そんなことは既に大勢の人がやってきたことだけど．）
一度古典的な三度堆積の音楽世界から離れたら，
無理に分数コードなんてこと考えなくても済むんじゃないか，なんてね．

この３月で卒業するゼミ生の卒論の一つはTymoczkoによる「和音の幾何学」だった．
多声部の教会音楽が作られるようになって以来，
いかにして心地良く和声をつなげるか，つまりスムーズなvoice leadingをどう見つけるか，
といったことは現実的な問題として必要だった．
Tymoczkoが試みていることは和音を「上手く」空間配置し，
和音間の距離，あるいは位相を考えることで
効率良くスムーズなvoice leadingを探す，という提案だった．
もっともこの和音の幾何学化，古くはオイラーにまで遡るのだけど．
(そしてそこで提案されたTonnetzというアイディアは，
何と高校「数学活用」の教科書にも載っているんだ！)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

例えば３つの音からなるあらゆる和音（非和声和音も）全てを空間に配置しよう．
１オクターブは12半音あって，オクターブ違いの音は同一とみなすなら，
Z/12Z で音たちを捉えることになる．
したがって３音和音(triad)はこの３組(Z/12Z)³，あるいは(R/12Z)³の点として表される．
するとまたtriadの転回形も全て同一と見做すから，この３組は順に依らない，
つまり (R/12Z)³/S₃ の点として捉えられる．

ここでTymoczkoは12半音を３等分するC,E,G#を断面とする座標系をとってtriadを配置した．
例えばtriad CEG#は△CEG#の重心に取る．
triadを構成する３音の第１，２，３音を半音上げるベクトルをa₁,a₂,a₃とする．
例えばCEG#+a₁=C#EG#，CEG#+a₂=CFG#，CEG#+a₃=CEAといった具合だ．
ところがこのベクトルたちを注意深くとっておくと
triadを構成する３音が張る平面上にそのtriadがあるようにできる．
例えばtriad CEAは平面CEA上にある，といった具合に．

これがたまたま３音だからというわけではなく，一般にn音和音でも(R/12Z)ⁿ/S_nの上で可能だ，
ということが上記の卒論で示されている．卒論はしかし配置までで実質終わっているが，
この図を見ていると色々と音楽的現象が説明されるようで面白い．

ところで四度堆積はどこいった，ということなんだが，
Tymoczkoは（おそらく）12半音を等分するという意味でCEG#-断面で座標系をとった．
しかしJazzyな響きなどはオクターブに収めて説明できるようなものじゃない．
だからZ/12Zより拡げよう，そうすると断面はもっと自由になる．
トリスタン和音を捉えたい，ならば４音和音を考えよう．
そしてトリスタンは四度堆積からの派生だ，ならば断面を四度４つで始めよう．
つまり，CFB♭E♭-断面からだ．因みにトリスタンはこの第２音を半音上げたものだ．
そしてあらゆる４音和音はそれを構成する４音が張る超平面上にあるように
生成ベクトルを調節できる．

ところで自分が本当に捉えたいのは和音の色彩感．
その入り口となる研究が音楽心理学の観点からCook氏らによって行われている．
例えば和音の緊張度といった概念が挙げられている．
和音を構成する音の隣接間隔が同じであるほど人は緊張感を感じる，
という心理実験に基づいて倍音まで考慮して和音の緊張度計算モデルを提示している．

↑卒論から．
因みにTymoczkoの断面CEG#は三度堆積和音だから緊張度が高い．
（しかも３度=4半音なので12の約数だから倍音を考慮しても緊張度が下がらない．）
四度堆積CFB♭E♭-断面も同様に緊張度が高い．
そして空間配置はこの高緊張度和音を中心軸にして配置されることになる．
これは何を意味するのだろうか？

あるいはモダリティー．いわゆる和音の明暗のモデルも提案されている．

↑卒論から．
このモデルに従えば，等間隔和音は中性的ということになる．
（完全四度=5半音は12と互いに素だから，倍音まで考慮すると
四度堆積CFB♭E♭-断面はどっちかに傾いてるかもしれないが．）

そんなこんなで四度堆積，一般にn度堆積和音からの音楽解釈は
数理音楽的に面白いんじゃないかと思い始めた次第．

因みに卒論で使った図はBASICで．ついでに倍音の影響がどのように反映するか
その様子を例えば緊張度についてこんな感じ，と以下に貼っておく．

↓純音のみ

↓２倍音まで考慮

↓３倍音まで考慮

↓５倍音まで考慮