四度堆積からの誘い（１）

その昔，Debussyが音楽院の学生だった頃，
完全四度を積み重ねた和声による音楽をまだ誰も作っていないことにあるとき気付き，
とても喜んだ，という逸話を何かで読んだ気がする．
この四度堆積和音という視点はそれ以後，
たくさんの音楽家たちによって試みられ，様々に発展してきた．

私自身ここにきて改めて，四度堆積という見方が気になり始めた．
というのも，それ以上音を付け加えると壊れてしまう気がするという意味で完全な和音，
トリスタン和音が四度堆積和音の派生物とも捉えられることに気付いたからだった．
トリスタン和音 - Wikipedia
ついでにこの四度堆積和音の他の派生物も色々弾き試してみると，
Jazzyな和音が次々に現れてくる．おやおや．

そんなことを大学に通勤する前の毎朝数十分，ピアノ練習の中であれこれやっているうちに，
この四度堆積，あるいは一般にn-semitone堆積という視点で
数理音楽を展開するのはどうだろう，と安直に思ったわけだ．
（そんなことは既に大勢の人がやってきたことだけど．）
一度古典的な三度堆積の音楽世界から離れたら，
無理に分数コードなんてこと考えなくても済むんじゃないか，なんてね．

この３月で卒業するゼミ生の卒論の一つはTymoczkoによる「和音の幾何学」だった．
多声部の教会音楽が作られるようになって以来，
いかにして心地良く和声をつなげるか，つまりスムーズなvoice leadingをどう見つけるか，
といったことは現実的な問題として必要だった．
Tymoczkoが試みていることは和音を「上手く」空間配置し，
和音間の距離，あるいは位相を考えることで
効率良くスムーズなvoice leadingを探す，という提案だった．
もっともこの和音の幾何学化，古くはオイラーにまで遡るのだけど．
(そしてそこで提案されたTonnetzというアイディアは，
何と高校「数学活用」の教科書にも載っているんだ！)

A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory)

例えば３つの音からなるあらゆる和音（非和声和音も）全てを空間に配置しよう．
１オクターブは12半音あって，オクターブ違いの音は同一とみなすなら，
Z/12Z で音たちを捉えることになる．
したがって３音和音(triad)はこの３組(Z/12Z)³，あるいは(R/12Z)³の点として表される．
するとまたtriadの転回形も全て同一と見做すから，この３組は順に依らない，
つまり (R/12Z)³/S₃ の点として捉えられる．

ここでTymoczkoは12半音を３等分するC,E,G#を断面とする座標系をとってtriadを配置した．
例えばtriad CEG#は△CEG#の重心に取る．
triadを構成する３音の第１，２，３音を半音上げるベクトルをa₁,a₂,a₃とする．
例えばCEG#+a₁=C#EG#，CEG#+a₂=CFG#，CEG#+a₃=CEAといった具合だ．
ところがこのベクトルたちを注意深くとっておくと
triadを構成する３音が張る平面上にそのtriadがあるようにできる．
例えばtriad CEAは平面CEA上にある，といった具合に．

これがたまたま３音だからというわけではなく，一般にn音和音でも(R/12Z)ⁿ/S_nの上で可能だ，
ということが上記の卒論で示されている．卒論はしかし配置までで実質終わっているが，
この図を見ていると色々と音楽的現象が説明されるようで面白い．

ところで四度堆積はどこいった，ということなんだが，
Tymoczkoは（おそらく）12半音を等分するという意味でCEG#-断面で座標系をとった．
しかしJazzyな響きなどはオクターブに収めて説明できるようなものじゃない．
だからZ/12Zより拡げよう，そうすると断面はもっと自由になる．
トリスタン和音を捉えたい，ならば４音和音を考えよう．
そしてトリスタンは四度堆積からの派生だ，ならば断面を四度４つで始めよう．
つまり，CFB♭E♭-断面からだ．因みにトリスタンはこの第２音を半音上げたものだ．
そしてあらゆる４音和音はそれを構成する４音が張る超平面上にあるように
生成ベクトルを調節できる．

ところで自分が本当に捉えたいのは和音の色彩感．
その入り口となる研究が音楽心理学の観点からCook氏らによって行われている．
例えば和音の緊張度といった概念が挙げられている．
和音を構成する音の隣接間隔が同じであるほど人は緊張感を感じる，
という心理実験に基づいて倍音まで考慮して和音の緊張度計算モデルを提示している．

↑卒論から．
因みにTymoczkoの断面CEG#は三度堆積和音だから緊張度が高い．
（しかも３度=4半音なので12の約数だから倍音を考慮しても緊張度が下がらない．）
四度堆積CFB♭E♭-断面も同様に緊張度が高い．
そして空間配置はこの高緊張度和音を中心軸にして配置されることになる．
これは何を意味するのだろうか？

あるいはモダリティー．いわゆる和音の明暗のモデルも提案されている．

↑卒論から．
このモデルに従えば，等間隔和音は中性的ということになる．
（完全四度=5半音は12と互いに素だから，倍音まで考慮すると
四度堆積CFB♭E♭-断面はどっちかに傾いてるかもしれないが．）

そんなこんなで四度堆積，一般にn度堆積和音からの音楽解釈は
数理音楽的に面白いんじゃないかと思い始めた次第．

因みに卒論で使った図はBASICで．ついでに倍音の影響がどのように反映するか
その様子を例えば緊張度についてこんな感じ，と以下に貼っておく．

↓純音のみ

↓２倍音まで考慮

↓３倍音まで考慮

↓５倍音まで考慮

そうだ！滑りに行こう！

いやぁ～，いぃっすね～，雪山．
なかなかこの時期に不謹慎なタイトルだけど，
今シーズン初めて（そしておそらく今シーズンはこれのみ）行ってきました．
５代目ゼミ±αです．

みなそれぞれに，それぞれの持ち場と立場で教育に挑んでいました．
色々と困難にはぶつかるようだけど，
少々のことは智慧と忍耐と行動力で吹き飛ばす，
そんな力強い世代だったと今更ながらに思う．
何より人生を大いに謳歌しているから素晴らしい．

幸せなひとときに感謝です．

追記：道中，このブログで
「サブリミナル効果のように宣伝されている」
「何かもらってるんじゃないか」「アフェリエイト？」
等々物議をかもしたデシの本，ついでだからまた紹介．
この本，あらゆる教育関係者，子供を持つ親もそうだし，
総理大臣も含めて何らかの形で人の上に立つ人達には
どうしても知っておいて欲しい話だからだ．
どれほど内発的動機づけが繊細なものであるかということを．

人を伸ばす力―内発と自律のすすめ

複雑ネットワークとしての戦闘シミュレーション

本年度の卒論発表会も無事終わったところで，すぐに次の学年のゼミ指導へ．

ゼミ生のひとりが，ランチェスター則を複雑ネットワークで解釈する，
といった試みを始めている．で，自分もちょっとシミュレーションしてみた．

複雑ネットワークとしての戦争シミュレーション - YouTube
緑軍（下側）と赤軍（上側）が100万個体ずつ並んで，お互い弾を交互に撃ちあう．
各個体は弾が当たったら即退場．当たらぬ限り次のターンで攻撃者の候補になり，
毎度ランダムに候補者から次のターンでの攻撃者が１個体選ばれ攻撃する．
ただし武器性能が異なっていて，緑軍は１個体が一度に200発撃つのに対し，赤軍は50発．
右下のグラフは各時間での残存兵数，
左下の２つのグラフは撃った弾が当たったらその２者間にネットワークができたとして，
そのとき出来上がっているグラフ
（今回の場合，相討ちという状況がないからランダム木になるのだけど）
の頂点次数の分布を描いている．

開戦当初は頂点次数がそれぞれ200と50に集中するが，
次第に互いの残存兵数が減ってくると弾が当たりにくくなり
（というのも，ここでの実験では毎回被弾者を
その生死に関わらず100万個体からランダムに選ぶので）
小さな頂点次数を持った頂点が増えていくのが見える．
そしてその先にべき乗則が現れてくる．

久しぶりに10進BASICで遊んでみた．
あ，今回のネタ元はここ↓
べき乗則とランチェスターの法則 Lanchester's law and Power-law: HPO：個人的な意見 ココログ版

おや，遂に卒論がNAVERまとめに載ったYO!

いやぁ，センター試験監督お疲れ様です．
（と，センター休みであちこち行楽中の学生を牽制してみる．）

と新年一発目，ウチのゼミの卒論がNAVERのまとめに載ったってお話．

元気だった5代目の卒論
ポケモンつなげるもん♪―最長しりとり問題を整数計画法で解く―
サザえもん―集団の合意形成と紛争のゲーム理論―
それから7代目の
テカチュウ，君に決めた！―安定結婚問題と交換問題―
（タイトルだけで選ぶなら，When do you 発注？―在庫管理の数学―もイケるんだけどなぁ...ってそういう問題ではない．）
当大学の面白卒論ってことなんだけど，全部ウチのゼミやん！
ってpdf公開してるからだね．
（それよりも，他大学は大学の写真なのに，なぜにうちの大学だけポケモンの画像なの？
　え，ポケモン大学なの？）

皆，実にパワフルにオリジナルな世界を作っていった，あの時代が懐かしい．
（といってもほんの数年前のことなのだが．）
かつての当大学，はみ出し者も多かったが，ホントにみな快活で人情味が有った．

それに引きかえ，ここ最近の学生は何と薄味なことか．
本当に極々限られた，閉ざされた人間関係に常に安住して外界に興味を持たない．
あるいは興味を持つ余裕が無いのかもしれない，内部世界の維持に精一杯で．
えぇんかなぁ，そんなんで．未来を育てる仕事やで，君らが成ろうとしているモノは．

ま，何はともあれ無事センターも通過し，あとは卒論．
日本語が不自由な日本人学生らの卒論添削に集中しますか．
（いや，正確にはやまと言葉を知らない日本人と云うべきか．
　もう，そんなん日本人ちゃうやん，って思うけど...その辺りについて最近
　頓に感じる違和感についてはまた別の機会に．）

洲原花火で交流会

花火したい，というとある４年ゼミ生の発案から，
新３年ゼミ生との交流会も兼ねて，洲原で花火．でもまぁ，まずは恒例のピザから．






自己紹介的なこともあったり．



とかしてるうちに日が暮れて，花火の準備．



はじまり，はじまり．




なんか，インディーズバンドのジャケ写っぽい．



こう，なんか青春の１ページ的な何か．





はじめは小さなロウソクの火だったんだが，



発泡スチロールの台に火が移り，



逃げ惑う人々．



ってなわけで，和やかに閉幕．
３年はこれから主免実習．そして４年はいよいよ卒論本番．
みなさん，それぞれがそれぞれに頑張りましょう！