2021-07-25

Fibonacci-iccanobiF

おしごとすうがくきょういく

久々のエントリーとなるが，瓢箪からコマというか，思いつきである講義（というか，ほとんど自分が教えることなくfacilitatorのような役割をしている）で紹介した現象について．

世間的にはおそらくよく知られた話なのだろうが，Fibonacci数列をmodulo Fibonacci数で見ると周期的になるという事実．
話を揃えよう．数列 $\{F_n\}$ を

$\displaystyle F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$

で定義する．
で，これを $\pmod{F_n}, n\ge 4$ で観察すると

$\displaystyle n\text{ が奇数なら } 4n, n\text{ が偶数なら }2n$

の周期をもつ数列に変わる．
例えば $\pmod{F_4}=\pmod{3}$ なら

$\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,\dots\\ \equiv 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,\dots\\$

で，周期は $4\times2=8$ ， $\pmod{F_5}=\pmod{5}$ なら

$\displaystyle 1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,\dots\\$

で，周期は $5\times4=20$ ， $\pmod{F_6}=\pmod{8}$ なら

$\displaystyle 1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,\dots\\$

で，周期は $8\times2=12$ ， $\pmod{F_7}=\pmod{13}$ なら

$\displaystyle 1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0,1,1,\dots\\$

で，周期は $7\times4=28$ といった具合だ．
これをもう少し続けたのが下の図．きれいに周期が出ている．
（因みに，学生はこれを見て「ファミマ」とか言っていた．）
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さて，何が起こっているのだろう．紹介はしたものの，直感的に理解できていない．
学生らには，自由に研究活動をしてもらって何かを見つけてもらいたいが，自分は自分でこの現象の仕組みを理解したい．

数日折りに触れ考えていたところ，ようやくハッキリした．
例えば $\pmod{F_7}=\pmod{13}$ の列

$\displaystyle 1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,\\\qquad 12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0\\$

は $F_k\equiv F_k-13\pmod{13}$ を通して一つおきに書き換えると，

$\displaystyle 1,-12,2,-10,5,-5,0,-5,8,-10,11,-12,12,0,\\\qquad 12,-1,11,-3,8,-8,0,-8,5,-3,2,-1,1,0\\$

といった列になるが，これは元の周期列を一つおきに負号を付けて逆に並べたものになる．
これはもともとの漸化式

$\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$

を

$\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$

と書き直して理解できそうだ．
また $\pmod{F_n}$ では $F_{n-2}+F_{n-1}=F_{n}\equiv 0$ ，つまり $F_{n-2}\equiv -F_{n-1}$ と理解できるから，

$\begin{align} &F_{n-3}=F_{n-1}-F_{n-2}\equiv 2F_{n-1}\\ &F_{n-4}=F_{n-2}-F_{n-3}\equiv -3F_{n-1}\\ &F_{n-5}=F_{n-3}-F_{n-4}\equiv 5F_{n-1}\\ &F_{n-6}=F_{n-4}-F_{n-5}\equiv -8F_{n-1}\\ &\vdots\\ &F_{n-k}=F_{n-k+2}-F_{n-k+1}\equiv (-1)^{k-1}F_kF_{n-1}\\ \end{align}$

と遡っていくと，特に $k=n-1$ では

$1=F_1\equiv (-1)^{n}F_{n-1}^2$

となるので，

$F_{n-1}^2\equiv (-1)^n\pmod{F_n}$

となる．特に $n$ が偶数なら $F_{n-1}^2\equiv1\pmod{F_n}$ だが， $F_{n-1}$ と $F_n$ は互いに素で $F_{n-1} < F_n$ だから

$F_{n-1}\equiv -1\pmod{F_n}$

となり，また

$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}\equiv F_{n-1}\pmod{F_n}$
$F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\equiv F_{n-1}\pmod{F_n}$

を考えると， $k\ge 1$ について帰納的に

$F_{n+k+2}=F_{n+k+1}+F_{n+k}\equiv F_{n-1}(F_{k+1}+F_{k})=F_{n-1}F_{k+2}\pmod{F_n}$

が分かり，特に $k=n-3,n-2,n-1$ で

$\begin{align} F_{2n-1}&\equiv F_{n-1}^2\equiv 1,\\ F_{2n}&\equiv F_{n-1}F_n\equiv0,\\ F_{2n+1}&\equiv F_{2n-1}+F_{2n}\equiv 1\pmod{F_n} \end{align}$

となるから，次の周期が始まる．すなわち， $\pmod{F_n}$ での周期は $2n$ と分かる．
一方， $n$ が奇数なら $F_{n-1}^2\equiv-1\pmod{F_n}$ であり，したがって $F_{n-1}^4\equiv1\pmod{F_n}$ となるから，偶数の場合と同様な議論によって， $\pmod{F_n}$ での周期は $4n$ と分かる．

注意したいのは，これは数論的な現象ではなく，漸化式で与えられる力学系の性質から導かれているということだ．
特に今回は漸化式の係数（の絶対値）の対称性

$\displaystyle 1\times F_{n+2}=F_{n+1}+1\times F_n$

に助けられていると思っていい．あるいは同様な考察は例えば $c$ を何らかの任意定数とした，

$\displaystyle F_{n+1}+F_{n-1}=cF_{n}$

といった力学系のほうがよりエレガントな結果が出るようにも思える．
こうなると，いよいよ離散版のLaplacianに見えてくるが，何か物理的な意味があるかな...

2020-12-23

開口端でも気柱共鳴が起こるのはなぜ？

数理音楽すうがくかがく

今年の卒論ネタの一つから．
金管などいわゆる開口端の楽器はマウスピースやリードからの振動を共鳴器で拡大させて特定の周波数の音を出すように作られているわけだが，それは反射波との共鳴によってなされるとされている．しかし，普通に考えると何の壁もない開口端で，どうして反射波が発生するのだろう，という素朴な疑問が起こるものである．確かにネットで検索すると，固定端反射するとか，壁がないのだから自由端反射だとか諸説流布されている．
で，なんだか分からなくなってきたので，仕方ないから実際に波動方程式からシミュレーションしてみることにした．
それが↓．processingで久しぶりに作ってみた．

上スクリーンでは真ん中に開口端の管を置き，開始直後に管左端でパルスを発生させ，それが波動方程式に従ってどう発展していくのかをシミュレーションしている．ただし，圧力波として表現しているので管の壁では自由端反射させた（作用・反作用の法則によって）．残念ながら今のところ，スクリーンが有限なために起こる境界条件が上手く設定できていなくて，本当は無いはずの反射が薄っすらとスクリーン端でも起こってしまっている．

上スクリーンを横切っている水色線はマウスの $Y$ 座標に伴って上下に移動し，下のスクリーンにその水色線で切断した波面のグラフが描かれるようにした．これで，管内での圧力波の変化がよく分かる．
そして，その結果として見えるのは，確かに開口端であってもそこで圧力波が反射していること，しかも固定端反射のように振る舞っていることが見える．

パルスの山はチューブ内を順調に進むが，開口端へ達っした途端，急激に山が谷へと変化するのが見える．固定端反射のようだ．
因みに，マウス右ドラッグでその場にパルスを加えて，さらなる波を起こすようにも作ってみた．

さて，この様子をじっと見ていると開口端で何が起こっているのか色々分かってくる．
まず，開口端へ達するとチューブの壁が消えて一気に空間が広がるので，波はチューブ内の平面波から球面波へと変化する．そのとき，より広い面積の「まだ圧力変化していない」媒質に触れることになる．チューブ内から出てきた平面波からすると，突然圧力変化を起こし辛くなってくる，ということだ．このことが壁のような働きをするのだろうと思われる．

媒質がいたるところバネのようなものだったと考えれば，チューブ内一定のバネ定数が開口端で急に大きなバネ定数に変化したということだろうか．チューブ内の柔らかいバネからチューブ外の硬いバネに波を伝えようとしているような感じだ．

そう思ってさらに検索を続けると，インピーダンスなる概念が出てきて電気回路に代替して説明していたりする．波の伝わりにくさをインピーダンスとして表現するというわけだ．

ところで元になる波動方程式

$\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(x,y,t)=c^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\phi(x,y,t)$

は，シミュレーションではもちろん差分化して解くのだけど，それは

$\displaystyle \text{位置 $(x,y)$，時刻 $t$ での値 $\phi(x,y,t)\to$ セル $(i,j)$，時刻 $n$ での値 $p_{i,j}^n$}$

と対応させ，

$\displaystyle p_{i,j}^{n+1}-2p_{i,j}^n+p_{i,j}^{n-1}=c'^2\left(p_{i+1,j}^n+p_{i-1,j}^n+p_{i,j+1}^n+p_{i,j-1}^n-4p_{i,j}^n\right)$

すなわち，漸化式

$\displaystyle p_{i,j}^{n+1}=c'^2\left(p_{i+1,j}^n+p_{i-1,j}^n+p_{i,j+1}^n+p_{i,j-1}^n\right)+(2-4c'^2)p_{i,j}^n-p_{i,j}^{n-1}$

によって計算していくことになる．ただし，今回のシミュレーションでは，あまり根拠なく $c'^2=1/4$ とした．

2020-10-02

残念な世界(1)

ものもう

あれがリバティー
ユートピアのパロディー
　　　　「パレード」の一節 / 平沢進

www.newsweekjapan.jp
僕らはいま，壮大なパロディーを見ている．
民主主義のパロディーを．

大国の落日はともかく，振り返ってこの国の民主主義はもとからパロディーだった．
欧米のパロディーから抜け出すことはなかった．
恐怖のパレードが過ぎ去った70年ぐらいでは，市民は育たなかった．
「モリ・カケ・サクラ」もどこ吹く風，ヤンキー総理の去り際は大円団だったものね．

しかし，いまや世界中至るところで，「民主主義」は人類にとってパロディーに過ぎなかったことを証明しつつあるね．

そんなこんな考えてるところへ，こんなオチが流れてきた．

Tonight, @FLOTUS and I tested positive for COVID-19. We will begin our quarantine and recovery process immediately. We will get through this TOGETHER!
— Donald J. Trump (@realDonaldTrump) 2020年10月2日

アカウントが "@realDonaldTrump" というところから笑わせてくれる．
そうわざわざ言わねばならぬほど，あんたの存在自体が Fake なのかい．

努々省みるな
手遅れゆえ
　　　　「パレード」の一節 / 平沢進

【平沢進】パレード（歌詞付き）～映画「パプリカ」～

2020-02-13

team Labo in NAGOYA

Art photo

11月からやっていた team Labo in NAGOYA．
卒論騒ぎがようやく片付いたし，もう数日でこのイベントも終わってしまうので慌てて行ってきた．
もちろん代休をとっての平日の敢行．でないと，ちびっこ達に埋もれてしまうから．
場所は伏見の科学館．

team Laboの活動はずっと気になっていたし，もし自分が20代だったら絶対に就職を目指していたであろう会社だ．
人工生命と数学とアート．
この辺りの繋がりは1980年代頃からずっと気になっているテーマの1つだからだ．
今の世になって，ようやくあの頃夢想していた作品がこうして実現されて見られるようになった．

入って一つ目の部屋は花で象られた生き物たち．
これら生き物たちは，人の動作に対してインタラクティブに反応する．
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二つ目の部屋は象形文字に触れるとそれが実体化するアトラクション．
ヨーロッパの方々がえらく興奮しながら漢字に触れていた．
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三つ目の部屋は触れると何か一言しゃべるバルーンの部屋．
今ひとつピンとこなかったので撮影せず．

四つ目の部屋では大きなクジラが部屋全体を舞うなか，人々が描いた小動物たちがスキャンされて壁を這い回る．
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ほかにも手が置かれるとそれをよじ登ったり，弾くような動作をすると小人たちがふっとばされたり，などといったインタラクティブなプロジェクションのあるテーブルとか．
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滑り台を滑って果物や花にふれると，それらがワッと咲き乱れるアトラクションとか．
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最後の部屋も，描いた作品がそのまま水族館に登場して泳ぎ回るアトラクションだったり．
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このイベントは明らかに子供向けなんだけど，もう少しアートよりになるとまた面白い世界が描けそうなんだ．

このあと，県美の「コートールド展」にも行ってきた．
こちらはまた超有名な印象派作品ばかり．
一方で意外な人の意外な作品もあったりと，これがまた面白かったのだが，撮影はせず．
3月半ばまでやっているから，もう一度行ってみようかな．

いずれもILCE-6000+Sony SEL16-70Z F4.0, Lightroomにて現像

2020-02-11

ともあれ今年度も終わった

ゼミおしごときょういく

終わったよ，本年度の卒業論文審査会．
気付いたら，プレゼンのタイトル画面がこんなことになっていた．
あれれ，センスが良くなっている！
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で，肝心の内容なんだが，昨年度の13代が優秀すぎて，ほとんど手がかからなかったのに対し，本年度14代では小人さんがほとんど出突っ張り．
これだけ出動したのはちょっと過去にはない．そして，もうこんなことはしない．
しなくて良いようにゼミ生を動かしていかねばね．

まぁしかし，プレゼンでは教育学部生らしく頑張った．
どうやらプレゼン練習の初期段階ではつべこべ言わず見守る（あるいは敢えて全く見ない）ほうが良いようだ．仲間内であれこれやる中で知恵をつけるらしい．

どういうわけか，一人トイレに行っているスキに撮影→
長年，ゼミに使っていたこのお気に入りの部屋も，改修工事で使えなくなる．1年後は自分の研究室でゼミができるかな（何しろ部屋面積が現在の2倍！）

そうそう，個人的趣味でもある「数理音楽」では，いくらか収穫があった．
やはり議論するとネタがいくつも芽生えてくる．
次年度，これらをまとめるともう一歩突っ込んで「調性音楽の組合せ論的特徴」が抽出できると思われる．

それはそうと，卒業論文のみのことではないのだが，この数年ますます学生たちの文章が拙くなってきているように思われてならない．
ついには自分の研究の総括であるイントロですら辿々しく，あるいは全く書けないという有様．
（といっても，今回は赤入れ添削作業をすっ飛ばしたので，それが教育的にはまずかったと反省している．でも，もうそんな元気が出なかったんだ．）
もう，AO入試とか学校推薦とか妙な入試枠なんか作ってないで，入試は国語一本で良いんじゃないかな．
母国語ができないなら，どんな学問もやれないのだから．
「アクティブラーニング」とか「主体的・対話的で深い学び」とか言う前に，まず「読み書き」きちんとしようよ．
もはや「教科書が読めない」のは，教員自身なのかもしれないよ．