数理音楽の風景（２）－12ヶ月はLydianを奏でる

「数理音楽の風景」と題したエントリーを書いたのが，もう2年前のことだ．
tokidoki.hatenablog.jp
ちょうどその頃，極大均等性のコンセプト下での調性音楽理解の可能性が見え始めたところで，この点でいくつか書き物をしてきた．

当初は準周期系の話題の延長線上での議論だったが，どういうわけか調性音楽の仕組みと極大均等性の相性が良く，いろいろと説明できてしまう．
あるいは典型的なカデンツである五度進行も説明できるものだろうか，などと思いながらボヤッと運転してたときに，「もしかして」と気づいた事実を動画にしたのが↓．

もちろん，12ヶ月の配置がこのようになっているのは歴史的な偶然だろうと思う一方で，31日ある7ヶ月分をできるだけ均等に12ヶ月に配置しようとした，という無意識/意識的な作用があったとしたら，やはり自動的にこの配置に，しかも一意的に決まる．

さてさて，何を言い出したのか．
今後，「数理音楽」エントリーに毎度現れるであろう極大均等性についてまずは書いておこう．
極大均等性(maximal evenness)とは，例えば白と黒の碁石を円形に並べたとき，白と黒の配置が「できるだけ均等になるように」並べた状態のことだ（いや，ちゃんとした定義は下でするけど）．

例えば白と黒が同数ならこれは簡単で，白と黒を交互に並べれば良いだろうし，白が黒の2倍あるなら，黒を3つごとに並べれば均等になるだろう．
一般に白 $w$ 個，黒 $b$ 個あって， $w=kb$ の倍数関係にあるなら，黒を $k$ 個ごとに置けば良いはずだ．
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では，倍数関係になかったらどうなるだろう．特に互いに素だったら．
よく高校生などに「白石７つと黒石5つをできるだけ均等になるように並べてごらん」というと，白黒を交互に並べて最後に黒の一つを白に変えるとか，黒を4つ配置した後どこか一箇所の白を黒に変える，といった回答をするがこれらはまだ均等に近くはない．
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実際，白は重さがなく黒が $1g$ の重りだったとして原点中心の半径1の円に上図のように並べたなら，それらの重心は計算すると（ただし，平均は12ではなく5で割ったがそれは本質ではない）それぞれ

\begin{align*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{1,3,5,7,11\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})&=(0,\frac{1}{5})\\
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{0,3,6,8,9\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})&=(-\frac{1}{10},-\frac{\sqrt{3}}{10})
\end{align*}
となり，どちらも重心は原点から距離 $\frac{1}{5}$ の位置にある．しかし下図のように黒石を一つ隣に移動してみよう．
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どちらも同じ配置になるので右の場合で重心を計算してみると，

\begin{equation*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{0,3,6,8,10\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})=(0,\frac{1-\sqrt{3}}{5})
\end{equation*}
となって，重心の原点からの距離は $\frac{\sqrt{3}-1}{5}<\frac{1}{5}$ だからさっきより近くなる．
しかしこれよりもっと（そして実は最短となる）重心が原点に寄る配置が，まさにピアノ鍵盤における黒と白の配置だ．
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右図にした場合，

\begin{equation*}
\frac{1}{5}\sum_{k\in\{1,3,6,8,10\}}(\cos\frac{\pi k}{12},\sin\frac{\pi k}{12})=(-\frac{2-\sqrt{3}}{10},-\frac{2\sqrt{3}-3}{10})
\end{equation*}
となるから，重心の原点からの距離は $\frac{2-\sqrt{3}}{5}<\frac{\sqrt{3}-1}{5}$ ，つまり更に先程より近くなった．

さて，ここまで先延ばしにしてきた極大均等性のきちんとした定義を述べておこう．

【極大均等性】
0と1からなる無限に続く記号列 ${\bf w}=\cdots w_{-1}w_0w_1w_2\cdots$ について， $\bf{w}$ から同じ長さの任意の２つの有限部分列 ${\bf u}=w_kw_{k+1}\cdots w_{k+n},{\bf v}=w_lw_{l+1}\cdots w_{l+n}$ を取ってくると，必ず

${\bf u}$ に含まれる1の個数と ${\bf v}$ に含まれる1の個数の差は高々1以下
となるとき， ${\bf w}$ は極大均等であるという．

これは語の組合せ論でいうところの balanced wordの定義に他ならない．
因みに，数理音楽の分野ではこれを Myhillの性質と呼んでいる．
なお，この定義において取ってくる有限部分列の長さはいくらでも良く，また ${\bf u} と {\bf v}$ の一部が被っていようと構わない．

では実際にピアノ鍵盤の場合に当てはまるか見てみよう．
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この場合，白=0，黒=1として考える無限列は周期が12の列

\begin{equation*}
{\bf w}=\cdots \underline{010100101010}010100101010010100101010\cdots
\end{equation*}
となる．

長さ1の部分列のとき：要するに1文字なので0か1しかなく，だから含まれる1の個数の差は高々1．
長さ2の部分列のとき：現れる組み合わせは00，01，10のみで，だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1．
長さ3の部分列のとき：現れる組み合わせは001，010，100，101のみで，だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1．
長さ4の部分列のとき：現れる組み合わせは0010，0100，0101，1010，1001のみで，だからどの2つを取っても含まれる1の個数の差は高々1．

以下，長さをいくら変えても含まれる1の個数の違いは高々1となることが観察できる．
特に長さを12の倍数に取ると，常に含まれる1の数は等しい．
こんなふうに，どんな長さで比較しようと1の現れ方のブレが高々1なので，とても均等に近い状態で1が並んでいるということになる．

つまり，12ヶ月に31日のある月7ヶ月分をできるだけ均等に並べたい，とか，12音に黒鍵5つをできるだけ均等に並べたい，と思うと，自動的にこの極大均等な配置になってしまうということだ．
さて，このままだと単なる偶然だったりオカルト的だったりするわけだが，少なくとも音階の成り立ちについては，連分数展開に関わるきちんとした数学的裏付けができる．
が，その話は，またの回にて．