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数学と音楽と教育と遊び

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数理音楽の風景(1)-不協和度曲線

ゼミ すうがく おんがく

2012年度卒業生から始めた当ゼミでの数理音楽なる分野,
その風景を数回シリーズでまとめてみよう.

準周期系の研究において連分数にまつわる力学系を扱うことが多かったことと,
はるか以前から音楽の仕組みに数理的仕組みが見え隠れしていると感じていたので,
ずっと取り扱いたいとは思っていたことだった.
そもそも音階の作り自体,繰り込み的な要素が多分にあるし,
その辺の感覚は連分数力学系そのものに由来する.
DSpace at 愛知教育大学: A Renormalization Approach to Level Statistics on 1-dimensional Rotations

さて,その数理音楽のゼミでの取り扱い開始は2012年度7代目の卒業研究から.
ドレミファそーする?―音律の数理と音階の構成―
不協和度曲線から始まって,連分数展開による音階構成の仕組みまで触れた卒論.
とあるページでもこの卒論が紹介されているのをしばらく前に発見した.
sites.google.com
この卒論,元になった藤沢+クックの論文*1
和音性の計算法と曲線の絵描き方 ―不協和度・緊張度・モダリティ―
の真似事から始まって,
不飽和度曲線で起こっている解析的な現象をちょっと数学的にきちんと書いてみた,
というものだった.
ただ,不協和度曲線の協和点でグラフが尖ってるといった特長があればいいものを,
そうもなっていなかったために,何らかの方法で協和点を解析的に特徴付けねば,
とでっち上げたのが第二種不協和度曲線だった.
tokidoki.hatenablog.jp

不協和度曲線の数理モデルのアイディアはこうだ.
まず,周波数の異なるsin波を同時に2つ鳴らし,
心理的な快不快の度合いを複数の被験者に採点してもらう.
その結果丁度半音階程度ずれたときが最も不快で,
そこを離れるに従い不快感は減っていったので,
この採点結果を適当な関数でモデル化する.それは例えば
f:id:okiraku894:20170129104409p:plain
であり,純音のドに対する別の純音の不協和度が以下.
f:id:okiraku894:20170128144954p:plain

しかし実際の楽器による楽音は複数の倍音が鳴っているため,
複合音の不協和度は純音の不協和度曲線をシフトして重ね合わせたものになるだろう,
つまり協和・不協和感覚に線形性が成り立っているだろう,という仮定を課すのである.
f:id:okiraku894:20170129105131p:plain

その結果,以下のような複合音に対する不協和度曲線が得られる.
例えば楽音のドに対する別の楽音の不協和度は↓
f:id:okiraku894:20170128144955p:plain
そして経験的に人々(正確には西洋音楽圏の人々*2)が協和すると感じる場所で
不協和度が下がっている,という尤もらしい説明ができる,というわけだ.
なお当たり前のことなのだが,この協和点の集合はFarey列にlog2したものに他ならない.

特に完全五度である3/2倍音は常にオクターブに次いで最も協和度が高い.
そのことによってピタゴラスは現在ピタゴラス音律と呼ばれる,
音階づくりのルールを定めたのだった.
そしてそこから連分数力学系が絡む素敵な世界が広がるのだが,その話は次回以降へ.

音律と音階の科学―ドレミ…はどのようにして生まれたか (ブルーバックス)

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*1:更にその大元にはPlomp と Leveltによる音楽心理実験があるのだ. R. Plomp and J. M. Levelt "Tonal Consonance and Critical Bandwidth" Journal of the Acoustical Society of America, 1965.

*2:実際,ハーモニーという概念を持たない民族圏の人々は例えば半音差で二音鳴らした場合と完全五度で鳴らした場合とで快不快感に特段の違いは起こらなかった,という実験結果がある.単旋律文化圏であった他ならぬ明治以前の日本人もそうだったのではなかろうか.