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芸は身を滅ぼす?(3)

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石取りゲームシリーズ@教科学,第3弾.
石取りを再び一山にする代わりに,
「直前に相手が取った石の数の二倍までOK」ルールにすると,
途端に数論的に面白いことが起こり始めることを知った.
[Flash] 2011年 11月号 必勝法を探せ!(その4)
そして教材にもなっていた.
フィボナッチ数を用いた教材開発とその実践

ゲームの分析はニムと同じ発想だけど,
土台となる数系がフィボナッチ数による不等進数なんだ.
つまり,あらゆる自然数は番号が隣り合わないフィボナッチ数の和で
一意的に表されるという事実だ.
f:id:okiraku894:20150621223744p:plain

実はじっと一次元回転力学系を眺めていると自然にZeckendorfの定理に,
あるいはよりもっと一般化すれば連分数展開から自然に導かれる,
Ostrowski numerationにいたるのだけど,
そんな現象が石取りゲームに現れるってところが面白い.

で,もちろんScratchで作った.そして学生らに対戦してもらった.
f:id:okiraku894:20150621220950p:plain

埋め込んでおくね↓
初めはフィボナッチ進数表示されないけど,
左上青い四角をクリックすると現在の石の個数がフィボナッチ進数表示される.

振り返ると数論的現象に関わる自分のアイディアの多くは
回転力学系の観察から出てきている.
(あの12音クロマティックスケール内のダイアトニック7音の配置の理由も,
 この回転力学系の観察から得られるんだ!)
DSpace at 愛知教育大学: A Dynamical Characterization of Myhill's Property

一方でこの不等進数のアイディアは何らかの力学系を「繰り込み」分解する
ひとつの指針を与えるようにも思える.
思えるよなぁ~と気付いてから数年が経つのだけど,未だ形にならず.

シリーズにするつもりじゃなかったんだけど,(3)とな.tokidoki.hatenablog.jp
tokidoki.hatenablog.jp